Mathematik HTL 1, Schulbuch

140 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten Um zu überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben, machen wir die Probe, das heißt: Wir rechnen nach, ob 2 1 _ 2 , 3 _ 4 3 wirklich eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist: I) 2· 1 _ 2 – 2· 3 _ 4 = ‒ 1 _ 2 ? Ausrechnen liefert: I) ‒ 1 _ 2 = ‒ 1 _ 2 II) 4· 1 _ 2 + 7· 3 _ 4 = 29 _ 4 ? Ausrechnen liefert: II) 29 _ 4 = 29 _ 4 Da also das berechnete Zahlenpaar 2 1 _ 2 , 3 _ 4 3 beide in der Aufgabe verlangten Eigenschaften hat, ist es eine Lösung. So haben wir uns selbst vergewissert, ohne im Lösungsheft nachsehen zu müssen: 2 1 _ 2 , 3 _ 4 3 ist wirklich Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems. Tipp Der Einfachheit halber werden die neuen Gleichungen I', II', I''…, die sich beim Umformen ergeben, oft wieder mit I, II bezeichnet. Nicht jedes Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Wenn wir versuchen, ein Gleichungssystem durch erlaubte Umformungen in eine einfachere Aufgabe überzuführen, kann Folgendes passieren: Wir können auf ein Gleichungssystem stoßen, das  keine Lösung hat. Beispiel: I) x + y = 1 Wenn die Summe zweier Zahlen 1 ist, dann kann II) 2x + 2y = 1 | II – 2·I die zweifache Summe nicht auch 1 sein. Durch Umformen erhalten wir folgendes Gleichungssystem: I) x + y = 1 II') 0 = ‒1 Dieses hat keine Lösung, weil für kein Zahlenpaar (x, y) die Zahlen 0 und ‒1 gleich sind. Wir können auf ein Gleichungssystem stoßen, dass  beliebig viele Lösungen hat. Beispiel: I) x – y = 1 Dieses Gleichungssystem hat die Lösungen II) 2x – 2y = 2 | II – 2·I (1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3) … und beliebig viele andere. Durch Umformen erhalten wir folgendes Gleichungssystem: I) x – y = 1 II) 0 = 0 Die zweite Bedingung ist immer erfüllt, also können wir sie weglassen. Wir wissen aber bereits, dass die Gleichung x – y = 1 die Lösungsmenge {(1, 0) + c·(1, 1) ‡ c * R} und damit beliebig viele Lösungen hat. Tipp Um Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen, können wir so vorgehen: Wir eliminieren zuerst aus einer Gleichung eine Unbekannte, indem wir von dieser Gleichung ein geeignetes Vielfaches der anderen subtrahieren. Wenn dann die neue Gleichung zu 0 = 1 äquivalent ist, hat das Gleichungssystem keine Lösung.  Wenn diese Gleichung zu 0 = 0 äquivalent ist, dann gibt es beliebig viele Lösungen.  In den anderen Fällen eliminieren wir aus der anderen Gleichung die andere Unbekannte,  indem wir von dieser Gleichung ein geeignetes Vielfaches der zuerst umgeformten Gleichung subtrahieren. So erhalten wir schließlich ein Gleichungssystem wie zum Beispiel I*) x = 4 II*) y = 5, und können das gesuchte Zahlenpaar direkt ablesen. Dieses Gleichungssystem hat genau eine Lösung. 615 Forme das Gleichungssystem nur so lange um, bis du erkennst, ob es keine, eine oder beliebig viele Lösungen hat. a. I) 2x + 7y = 12 II) 6x + 21y = 24 b. I) 1 _ 4 x – 5 _ 2 y = 4 II) ‒ 1 _ 6 x + 5 _ 3 y = 6 c. I) 3x + 5y = 24 II) 4x – 9y = 11 B, C Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv