Mathematik HTL 1, Schulbuch

14 Zahlen Wenn wir die Binärziffern einer Zahl noch nicht kennen, dann können wir sie durch mehrfache Division mit Rest durch 2 berechnen. 27 Berechne die Binärziffern der Zahl 243 10 . Wir dividieren mehrfach mit Rest durch 2 10 : 243 = 121·2 + 1 (also ist z 0 = 1) 121 = 60·2 + 1 (also ist z 1 = 1) 60 = 30·2 + 0 (also ist z 2 = 0) 30 = 15·2 + 0 (also ist z 3 = 0) 15 = 7·2 + 1 (also ist z 4 = 1) 7 = 3·2 + 1 (also ist z 5 = 1) 3 = 1·2 + 1 (also ist z 6 = 1) 1 = 0·2 + 1 (also ist z 7 = 1) Die Zahl Zweihundertdreiundvierzig wird also durch 243 mit Dezimalziffern und durch 11110011 mit Binärziffern dargestellt. Umgekehrt können wir die Dezimalziffern einer natürlichen Zahl, die mit Ziffern zur Basis 2 dargestellt ist, einfach durch Addition der entsprechenden Zweierpotenzen erhalten. 28 Berechne die Dezimalziffern der Zahl 10111001 2 . 10111001 2 = (1·2 7 + 0·2 6 + 1·2 5 + 1·2 4 + 1·2 3 + 0·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0 ) 10 = = (1·128 + 0·64 + 1·32 + 1·16 + 1·8 + 0·4 + 0·2 + 1·1) 10 = = 185 10 Die Zahl Einhundertfünfundachtzig wird also durch 10111001 mit Binärziffern und durch 185 mit Dezimalziffern dargestellt. In englischer Sprache heißt Binärziffer binary digit , abgekürzt bit . Im Deutschen wird die Abkürzung großgeschrieben: Bit . Für die Darstellung von natürlichen Zahlen am Computer sind Binärziffern vorteilhaft, weil man diese durch die Zustände „kein (oder wenig) Strom fließt“ und „(viel) Strom fließt“ technisch einfach darstellen kann. Beispielsweise können wir mit 4 Bits die 2 4 Zahlen von 0 bis 15 durch Binärziffern darstellen: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 Mit 8 Bits können wir die 2 8 Zahlen von 0 bis 255 darstellen usw. Warum verwenden wir im Alltag Dezimalziffern und nicht Binärziffern zur Darstellung von natürlichen Zahlen? Schon relativ kleine Zahlen wie zweihundertdreiundvierzig brauchen viele Binärziffern (243 10 = 11110011 2 ). Zahlen mit weniger Ziffern können wir uns leichter merken. Für die bei uns übliche Basis 10 hat man sich wahrscheinlich deshalb entschieden, weil wir 10 Finger haben. Beachte: Mit Zahlen wurde schon gerechnet, als die Darstellung von Zahlen durch Dezimalziffern noch lange nicht bekannt war. Die Darstellung einer Zahl durch Dezimalziffern ist eine sehr nützliche Zusatzinformation über die Zahl, aber nicht die Zahl selbst. Zum Beispiel ist die Anzahl der 1-€-Münzen, die wir oben gezählt haben, eine eindeutig bestimmte Zahl, deren Dezimalziffern aber erst bestimmt werden mussten. Wir können natürliche Zahlen, die mit Binärziffern dargestellt sind, genauso durch „Untereinanderschreiben“ addieren, multiplizieren und subtrahieren (wenn möglich), wie wenn sie mit Dezimalziffern dargestellt sind. B Ziffern- darstellung von der Basis 10 zur Basis 2 umwandeln B Ziffern- darstellung von der Basis 2 zur Basis 10 umwandeln binary digit (bit) ggb/xls 4s4h4h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv