Mathematik HTL 1, Schulbuch

139 3.4 Systeme linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten Wenn wir eine Gleichung eines Gleichungssystems durch die Summe bzw. die Differenz dieser Gleichung und eines Vielfachen der anderen Gleichung ersetzen, dann erhalten wir ein äquivalentes Gleichungssystem. Die meisten Gleichungssysteme, mit denen wir zu tun haben werden, haben genau eine Lösung. Es ist dann möglich, das Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen in ein Gleichungssystem der Form I) x = 4 II) y = 5 überzuführen, also in ein Gleichungssystem, in dem in jeder der zwei Gleichungen nur eine Unbekannte vorkommt. Dazu müssen wir zuerst eine Umformung so finden, dass aus einer Gleichung eine Unbekannte verschwindet. Wir sagen dann, dass diese Unbekannte eliminiert wird. Es gibt dazu mehrere Möglichkeiten. Aus welcher Gleichung wir zuerst welche Unbekannte eliminieren, bleibt uns überlassen. Den Übergang von einem Gleichungssystem der Form I) 2a + 3b = 11 II) 3a + b = 6 zu einem äquivalenten Gleichungssystem der Form I') 1a + 0b = 1 II') 0a + 1b = 3 nennen wir Diagonalisieren des Gleichungssystems . 614 Löse das Gleichungssystem I) 2u – 2v = ‒ 1 _ 2 II) 4u + 7v = 29 _ 4 und mach die Probe. Unser Ziel ist es, das gegebene Gleichungssystem in die Form I*) u = II*) v = umzuformen. Wir eliminieren dazu zuerst u aus der zweiten Gleichung. I) 2u – 2v = ‒ 1 _ 2 | ·(‒ 2) Dazu multiplizieren wir zuerst die erste Gleichung mit ‒ 2. II) 4u + 7v = 29 _ 4 I') ‒ 4u + 4v = 1 Dann ersetzen wir die zweite Gleichung II) 4u + 7v = 29 _ 4 | II + I durch die Summe der (neuen) ersten und der zweiten Gleichung. I') ‒ 4u + 4v = 1 Wir dividieren die (neue) zweite Gleichung II') 0u + 11v = 33 _ 4 | : 11 durch 11. Dann eliminieren wir v aus der ersten Gleichung. I') ‒ 4u + 4v = 1 | I' – 4II' Wir subtrahieren das Vierfache der II'') 0u + v = 3 _ 4 zweiten Gleichung von der ersten. I'') ‒ 4u + 0v = ‒ 2 | : (‒ 4) Wir dividieren die erste Gleichung durch ‒ 4. II'') 0u + v = 3 _ 4 I''') u = 1 _ 2 II'') v = 3 _ 4 Die Lösung des letzten Gleichungssystems ist nun unmittelbar ersichtlich: 2 1 _ 2 , 3 _ 4 3 Da wir immer nur zu äquivalenten Gleichungssystemen umgeformt haben, ist das auch die Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems (und aller anderen dazwischen betrachteten Gleichungssysteme). weitere Äquivalenz- umformung Diagonalisieren eines Gleichungs- systems B ein lineares Gleichungs- system lösen ggb/mcd/tns k3q9td Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv