Mathematik HTL 1, Schulbuch

138 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten 611 Gib zwei verschiedene Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten an, die beide die angegebene Menge als Lösungsmenge haben. a. (2, 1) b. (3, ‒ 6) c. 2 7,3, ‒ 560 _ 100 3 d. {c·(1, 1) ‡ c * R} 612 Wie lauten die vier Koeffizienten des angegebenen Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten? a. I) 3x + 4y = 7 II) x – y = 0 b. I) 3x + 6y = 9 II) 2 _ 3 x + 1 _ 3 y = 6 c. I) 1 _ 2 x – 1 _ 4 y = 1 II) 1 _ 2 y = 2 d. I) 1 _ 3 y = 1 II) 2x + y = 5 613 Vervollständige das Gleichungssystem, sodass es die angegebene Lösung hat. a. I) x + 2y = ? II) 3x + 4y = ? b. I) 2x – y = ? II) x – 2y = ? c. I) 1 _ 2 x – y = ? II) x – 3 _ 4 y = ? d. I) 10 2 x + 10y = ? II) 10 3 x + 10 ‒1 y = ? Lösung: ( 2, ‒1) Lösung: (3, 2) Lösung: (4, 2) Lösung: (1, 10) Lösen eines Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten durch Äquivalenzumformungen Tipp Zum Lösen von Gleichungssystemen verwenden wir die gleiche Strategie wie zum Lösen von Gleichungen: Wenn wir ein Gleichungssystem nicht sofort lösen können, dann verändern wir die Aufgabe so, dass sie einfacher wird, zugleich aber dieselbe Lösung wie das ursprüngliche Gleichungssystem hat. Dies wiederholen wir so lange, bis das Gleichungssystem so einfach ist, dass wir es lösen können. Wir nennen zwei Gleichungssysteme äquivalent , wenn sie dieselbe Lösung haben. Den Übergang von einem Gleichungssystem zu einem äquivalenten Gleichungssystem nennen wir erlaubte Umformung oder Äquivalenzumformung des Gleichungssystems . Die drei grundlegenden erlaubten Umformungen eines Gleichungssystems sind die folgenden. Wenn wir die zwei Gleichungen eines Gleichungssystems vertauschen, dann erhalten wir ein äquivalentes Gleichungssystem. Wenn wir eine Gleichung eines Gleichungssystems durch eine dazu äquivalente ersetzen (zum Beispiel indem wir sie mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren), dann erhalten wir ein äquivalentes Gleichungssystem. Wenn wir eine Gleichung eines Gleichungssystems durch die Summe oder Differenz der beiden Gleichungen ersetzen, dann erhalten wir ein äquivalentes Gleichungssystem. Dazu vereinbaren wir, was wir unter der Summe bzw. Differenz von Gleichungen verstehen wollen: Wenn zum Beispiel I) 2a + 3b = 11 II) 3a + b = 6 ist, dann ist I + II) (2a + 3b) + (3a + b) = 11 + 6, also 5a + 4b = 17 die Summe der beiden und I – II) (2a + 3b) – (3a + b) = 11 – 6, also ‒ a + 2b = 5 die Differenz der beiden Gleichungen. Jede Lösung von I) und II) ist auch eine Lösung von I) und I + II) und umgekehrt. Jede Lösung von I) und II) ist auch eine Lösung von I) und I – II) und umgekehrt. Aus diesen grundlegenden Äquivalenzumformungen für Gleichungssysteme erhalten wir eine weitere. A C A äquivalent Äquivalenz- umformung Äquivalenz- umformungen von Gleichungs- systemen ggb r82v84 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv