Mathematik HTL 1, Schulbuch

136 3.4 Systeme linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten Ich lerne ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten, das genau eine Lösung hat, durch Äquivalenzumformungen zu lösen und den Lösungsweg zu dokumentieren. Ich lerne zu entscheiden, ob ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten keine, genau eine oder beliebig viele Lösungen hat, und ich lerne diese Entscheidung zu begründen. Ich lerne ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten (näherungsweise) graphisch zu lösen. Ich lerne spezielle Gleichungssysteme in äquivalente Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten umzuformen und die Umformungsschritte zu dokumentieren. Wir wissen aus Abschnitt 3.3, dass zum Erraten eines Zahlenpaares mindestens zwei Bedingungen notwendig sind. Andreas sagt daher: „Denk dir ein Paar von Zahlen. Multipliziere die erste Zahl mit 2, die zweite mit 3 und addiere die Ergebnisse. Welche Zahl hast du nun?“ Maria antwortet: „11!“ „Nun multipliziere noch die erste Zahl mit 3 und addiere die zweite Zahl. Welche Zahl ergibt das?“ „6“, antwortet Maria. „Welches Zahlenpaar habe ich mir gedacht?“ Andreas muss also ein Zahlenpaar (a, b) finden, sodass I) 2a + 3b = 11 und II) 3a + b = 6 ist. Hier sehen wir nicht sofort, welche Zahlen a und b sind. Daher versuchen wir, die Aufgabe so zu verändern, dass sie einfacher wird, aber dieselbe Lösung hat. Wir können die einzelnen Gleichungen mit den bekannten Äquivalenzumformungen verändern. Betrachten wir zunächst die zweite Gleichung und multiplizieren beide Seiten mit 3: 3a + b = 6 1 ·3 9a + 3b = 18 Nun versuchen wir, b aus der ersten Gleichung zu entfernen. Wir subtrahieren dazu 9a + 3b von der linken Seite und 18 von der rechten Seite der ersten Gleichung. 2a + 3b – (9a + 3b) = 11 – 18 1 zusammenfassen ‒7a = ‒7 1 : (‒7) a = 1 Wir haben also die Gleichung I) zur Gleichung I') a = 1 vereinfacht. Das vereinfachte Gleichungssystem sieht so aus: I') a = 1 II) 3a + b = 6 Nun versuchen wir, a aus der zweiten Gleichung zu entfernen. Dazu multiplizieren wir beide Seiten der ersten Gleichung mit 3 und erhalten 3a = 3. Dann subtrahieren wir von der linken Seite der zweiten Gleichung 3a und von der rechten Seite 3. 3a + b – 3a = 6 – 3 1 zusammenfassen b = 3 Nun hat das Gleichungssystem eine Form, aus der wir sofort die Lösung ablesen können: I') a = 1 II') b = 3 Das gesuchte Zahlenpaar ist daher (1, 3). Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv