Mathematik HTL 1, Schulbuch

134 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten Fassen wir zusammen: Die Lösungsmenge der linearen Gleichung ax + by + cz = d ist (wenn a ≠ 0 ist) die Ebene im Raum {(p, q, r) + s·(‒b, a, 0) + t·(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R} , wobei (p, q, r) irgendeine Lösung der Gleichung ist. Wenn eine Ebene E die Lösungsmenge einer linearen Gleichung ax + by + cz = d ist, dann heißt diese Gleichung eine Gleichung der Ebene E. Wenn wir im Raum ein Koordinatensystem wählen, dann können wir die Lösungsmenge der Gleichung ax + by + cz = d skizzieren. Dazu zeichnen wir zuerst das Zahlentripel (p, q, r) ein und dann die Ebene {s·(‒b, a, 0) + t·(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R} . Schließlich bekommen wir die Lösungsmenge {(p, q, r) + s·(‒b, a, 0) + t(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R} , indem wir die Ebene {s·(‒b, a, 0) + t·(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R} in den Punkt (p, q, r) parallel verschieben. Beachte: Wenn d' irgendeine Zahl ist, dann sind die Ebenen mit den Gleichungen ax + by + cz = d und ax + by + cz = d' parallel zur Ebene {s·(‒b, a, 0) + t·(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R} , also auch zueinander parallel. 598 Löse die Gleichung 2u + v – 3w = 2. Für die homogene lineare Gleichung 2u + v – 3w = 0 lesen wir die Lösungen (‒1, 2, 0) und (3, 0, 2) direkt ab, die Menge aller Lösungen ist daher {s·(‒1, 2, 0) + t·(3, 0, 2) ‡ s, t * R} . Eine Lösung der inhomogenen linearen Gleichung 2u + v – 3w = 2 ist zum Beispiel (1, 0, 0). Die Menge aller Lösungen ist daher {(1, 0, 0) + s·(‒1, 2, 0) + t·(3, 0, 2) ‡ s, t * R} . 599 Löse die homogene lineare Gleichung. a. 2x + 5y – 3z = 0 d. 1 _ 2 x + 2 _ 3 y – z = 0 g. 100x + 10 ‒3 y + 10 2 z = 0 b. x – z = 0 e. ‒ 1 _ 4 x + 1 _ 2 y – 1 _ 4 z = 0 h. 3z 1 = 0 c. ‒ 2s – 3t + 4u = 0 f. 10 2 x + 1 _ 10 y – 10 3 z = 0 i. 2z 3 = 0 600 Löse die inhomogene lineare Gleichung. a. 2x + 5y – 3z = 6 d. 3z 1 = 9 g. 1 _ 2 x – 1 _ 4 y + 1 _ 4 z = 1 _ 2 b. x – z = 1 e. 2z 3 = 5 h. 10 4 x + 1 _ 100 y – 10 ‒2 z = 10 3 c. ‒ 2s – 3t + 4u = 3 f. 2 _ 3 x + 1 _ 3 y + z = 2 i. 0,001x + 10 ‒3 y + 10 4 z = 10 ‒1 601 Ein Unternehmer stellt drei Sorten Düngemittel A, B und C her. Er nimmt an, dass er pro Kilogramm von A 2,5€, pro Kilogramm von B 4€ und pro Kilogramm von C 5€ Gewinn macht. a. Gib die Menge aller möglichen Lösungen an, wenn der Gewinn 3000€ betragen soll. Gib aus dieser Lösungsmenge vier mögliche Lösungen an. b. Wie verändert sich diese Darstellung, wenn der Gewinn 2000€ sein soll? Lösungsmenge der Gleichung ax + by + cz = d Gleichung einer Ebene z x y (- c 1 0 1 a) (p 1 q 1 r) (- b 1 a 1 0) B eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten lösen B B A, B, C ggb 6sd4ei Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv