Mathematik HTL 1, Schulbuch

133 3.3 Lineare Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten Wir nennen die Aufgabe „Gegeben sind vier Zahlen a, b, c und d, dabei ist mindestens eine der Zahlen a, b, c nicht 0. Finde eine gute Beschreibung der Menge aller Zahlentripel (x, y, z) mit ax + by + cz = d.“ eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten. Wenn d = 0 ist, dann ist diese lineare Gleichung homogen , sonst inhomogen . Wir schreiben für diese Aufgabe oft kurz: „Löse die Gleichung ax + by + cz = d.“ Die gesuchte Menge aller Lösungen heißt dann Lösungsmenge dieser Gleichung. Um die inhomogene lineare Gleichung ax + by + cz = d zu lösen, übernehmen wir die Überlegungen, die wir schon für zwei Unbekannte angestellt haben. Zuerst beschreiben wir die Lösungsmenge der homogenen Gleichung ax + by + cz = 0. (‒b,  a, 0) ist eine Lösung, weil a(‒b) + ba + 0·c = 0 ist. (  ‒ c, 0, a) ist eine Lösung, weil a(‒ c) + 0a + ca = 0 ist. Wenn (x, y, z) eine Lösung ist, dann auch alle Vielfachen von (x, y, z).  Neu ist: Wenn wir zwei Lösungen (x, y, z) und (x', y', z') haben, dann ist die Summe dieser zwei Lösungen (x + x', y + y', z + z') auch eine Lösung. Denn wenn ax + by + cz = 0 und ax' + by' + cz' = 0 ist, dann ist a·(x + x') + b·(y + y') + c·(z + z') = (ax + by + cz) + (ax' + by' + cz') = 0 + 0 = 0. Die Beobachtungen „Vielfache und Summen von Lösungen von homogenen linearen Gleichungen sind wieder Lösungen“ fassen wir zusammen zu „Linearkombinationen von Lösungen von homogenen linearen Gleichungen sind wieder Lösungen“. Eine der Zahlen a, b, c ist nicht 0. Nehmen wir an, a ist nicht 0. Ähnlich wie im Fall von zwei Unbekannten können wir nachrechnen, dass dann alle Lösungen der Gleichung ax + by + cz = 0 Linearkombinationen der zwei Lösungen (‒b, a, 0) und (‒ c, 0, a) sind. Die Lösungsmenge der Gleichung ax + by + cz = 0 ist daher {s·(‒b, a, 0) + t·(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R} . Wenn wir im Anschauungsraum ein Koordinatensystem wählen, dann können wir die Lösungs- menge der Gleichung ax + by + cz = 0 skizzieren: Die Menge {s·(‒b, a, 0) + t·(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R} ist dann die Ebene durch die Punkte (0, 0, 0), (‒b, a, 0) und (‒ c, 0, a). Wir haben angenommen, dass a ≠ 0 ist. Wenn aber a = 0 und zum Beispiel b ≠ 0 ist, dann vertauschen wir in den Überlegungen einfach die „Rollen“ von a und b und erhalten dieselbe Lösungsmenge. Tipp Um die inhomogene lineare Gleichung ax + by + cz = d mit drei Unbekannten zu lösen, gehen wir ähnlich wie bei einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten vor: Wir bestimmen zuerst irgendeine Lösung:  Wenn a nicht 0 ist, dann ist 2 d _ a , 0, 0 3 eine Lösung. Wenn b nicht 0 ist, dann ist 2 0, d _ b , 0 3 eine Lösung. Wenn c nicht 0 ist, dann ist 2 0, 0, d _ c 3 eine Lösung. Dann schreiben wir die Lösungsmenge der homogenen  Gleichung ax + by + cz = 0 an, diese ist (falls a nicht 0 ist) {s·(‒b, a, 0) + t·(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R} .  Ist (p, q, r) die zuerst gefundene Lösung von ax + by + cz = d, dann ist die Lösungsmenge der Gleichung ax + by + cz = d die Ebene {(p, q, r) + s·(‒b, a, 0) + t·(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R} . lineare Gleichung mit drei Unbekannten Linear- kombinationen von Lösungen 0 z y x ( 0 1 0 1 ) 0 1 0 1 d c 0 1 1 0 a b ( ) ( ) 1 0 1 0 d a Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv