Mathematik HTL 1, Schulbuch

132 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten 595 Der Eintritt in ein Schwimmbad kostet für Erwachsene 3€ und für Kinder 1€. An einem heißen Sommertag wurden 860€ an Eintrittsgeldern kassiert. Wie viele Erwachsene und wie viele Kinder können um dieses Geld das Schwimmbad besucht haben? a. Gib die Menge aller möglichen Lösungen in Parameterform an. b. Gib drei der möglichen Lösungen explizit an. a. Für e Erwachsene und k Kinder werden insgesamt 3·e + 1·k€ an Eintrittsgeld bezahlt. Daher ist 3e + 1k = 860. Wir müssen also die Gleichung 3e + k = 860 lösen. Die Lösungsmenge der homogenen Gleichung ist {c·(1, ‒ 3) ‡ c * R} . Eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist (0, 860). Die Lösungsmenge der Gleichung 3e + k = 860 ist daher {(0, 860) + c·(1, ‒ 3) ‡ c * R} = {(c, 860 – 3c) ‡ c * R} . Aber Achtung: In Wirklichkeit darf c natürlich nicht aus R gewählt werden, sondern muss eine natürliche Zahl sein, da sowohl die Anzahl der Kinder als auch die Anzahl der Erwachsenen nur eine natürliche Zahl sein kann. Weil die Anzahl der Kinder und der Erwach- senen positiv ist, dürfen c und 860 – 3·c nicht kleiner als 0 werden. Somit muss c größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 860 _ 3 = 286 + 2 _ 3 sein. Die größte natürliche Zahl unter 286 + 2 _ 3 ist 286. Somit ist die tatsächliche Lösungsmenge {(0, 860) + c·(1, ‒ 3) ‡ c * N und c ª 286 } . b. Wir setzen für c drei beliebige natürliche Zahlen ein, zum Beispiel 10, 100, 200 und erhalten (10, 830), (100, 560) und (200, 260). Um 860€ könnten zum Beispiel 200 Erwachsene und 260 Kinder das Bad besucht haben. 596 Ein Unternehmer stellt zwei Sorten Düngemittel A und B her. Er nimmt an, dass er pro Kilogramm von A 5€ und pro Kilogramm von B 8€ Gewinn macht. Welche Möglichkeiten hat er für seine Produktion, damit er insgesamt I. 2000€, II. 3000€ Gewinn macht? a. Gib jeweils drei dieser Möglichkeiten explizit an. b. Beschreibe diese Aufgaben für I. und II. durch eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten. Schreibe ihre Lösungsmengen an. c. Stelle die beiden Lösungsmengen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar. d. Stückzahlen sind nicht negativ. Zeichne die Punkte der Lösungsmengen ein, bei denen beide Koordinaten positiv sind. Zwischen welchen zwei Punkten liegt dieser „zulässige Bereich“ der beiden Lösungsmengen? e. Welche besondere Lage haben die beiden in c. gezeichneten Geraden zueinander? An welchem Teil der Gleichung kann man das erkennen? 597 Ein Händler beabsichtigt für Sylvester p Plüschschweine und r Rauchfangkehrerfiguren zu kaufen, wobei ein Plüschschwein im Einkauf 3€ und ein Rauchfangkehrer 2€ kostet. a. Welche Bedeutung hat in diesem Zusammenhang die Gleichung 3p + 2r = 500? b. Der Händler möchte für die angegebenen Figuren genau 600€ ausgeben. Wie viele Plüschschweine und wie viele Rauchfangkehrerfiguren kann er um dieses Geld kaufen? Gib die Menge aller möglichen Lösungen an. c. Stelle den für diese Aufgabe relevanten Teil der Lösungsmenge in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar. d. Gib vier der möglichen Lösungen an. A, B, C eine Textaufgabe lösen, die auf eine Gleichung mit 2 Unbekannten führt k e 0 200 860 400 A, B, C A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv