Mathematik HTL 1, Schulbuch

130 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten Wir haben bereits gesehen, dass jede Gerade in der Ebene durch (0, 0) die Lösungsmenge einer homogenen linearen Gleichung in zwei Unbekannten ist. Wir überlegen uns nun, dass jede Gerade in der Ebene die Lösungsmenge einer (homogenen oder inhomogenen) linearen Gleichung ist. Um eine Gleichung zu finden, deren Lösungsmenge {(r, s) + c·(u, v) ‡ d * R} ist (für vorgegebene Zahlen r, s, u, v) können wir so vorgehen: Wenn ax + by = c die gesuchte Gleichung ist, muss {d·(u, v) ‡ c * R} die Lösungsmenge von ax + by = 0 sein, also können wir für a und b die Zahlen v und ‒u wählen. Eine Gleichung von {d·(u, v) ‡ c * R} ist daher vx – uy = 0. Wir müssen nun c so wählen, dass (r, s) eine Lösung von vx – uy = c ist, das heißt vr – us = c. Die Gerade, die in Parameterform durch {(r, s) + c·(u, v) ‡ c * R} dargestellt ist, ist die Lösungs- menge der Gleichung vx – uy = vr – us. 582 Finde eine Gleichung der Geraden durch die Punkte (2, 1) und (‒ 3, 8). Die Parameterform dieser Geraden g ist {(2, 1) + c·((‒ 3, 8) – (2, 1)) ‡ c * R} = {(2, 1) + c·(‒ 5, 7) ‡ c * R} . Eine Gleichung der Geraden {c·(‒ 5, 7) ‡ c * R} ist 7x + 5y = 0, eine Gleichung von g daher 7x + 5y = 7·2 + 5·1 = 19. Anstatt 7x + 5y = 19 könnten wir auch zum Beispiel 14x + 10y = 38 als Gleichung dieser Geraden wählen. Je nach Aufgabe, die wir lösen wollen, hat die Beschreibung einer Geraden durch eine Gleichung oder eine Parameterform Vorteile. Wenn wir eine Gerade durch eine Gleichung beschreiben, können wir leicht entscheiden, ob ein gegebener Punkt auf dieser Geraden liegt oder nicht. Wir müssen einfach nachprüfen, ob er eine Lösung der Gleichung ist oder nicht. 583 Liegen die Punkte (3, 4) und (‒ 8, 15) auf der Geraden mit der Gleichung 7x + 5y = 19? (3, 4) ist kein Punkt dieser Geraden, weil 7·3 + 5·4 = 41 ist, also nicht Lösung der Gleichung 7x + 5y = 19 ist. (‒ 8, 15) ist ein Punkt dieser Geraden, weil 7·(‒ 8) + 5·15 = 19 ist. Wenn wir eine Gerade durch eine Parameterform beschreiben, können wir leicht viele Punkte dieser Geraden anschreiben, wir müssen nur entsprechend viele verschiedene Zahlen für den Parameter wählen. 584 Gib drei verschiedene Punkte an, die auf der Geraden {(2, 1) + c·(‒ 5, 7) ‡ c * R} liegen. Wählen wir für c zum Beispiel die reellen Zahlen 0, 1 und 2, erhalten wir die Punkte (2, 1) + 0·(‒ 5, 7) = (2, 1), (2, 1) + 1·(‒ 5, 7) = (‒ 3, 8) und (2, 1) + 2·(‒ 5, 7) = (‒ 8, 15). 585 Löse die lineare Gleichung. a. 2x + 5y = 7 d. 3z 1 = 6 g. 1 _ 2 r + 4 _ 3 u = 1 _ 4 b. x ‒ 2y = 1 e. 2z 2 = 1 h. 10 2 x + 10 ‒3 y = 4 c. ‒2,27s – 3,45t = ‒2,31 f. 1 _ 3 a + 2 _ 5 b = 2 i. 1 _ 100 z 1 – 10 4 z 2 = 10 3 Gleichung einer Geraden in der Ebene B Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte bestimmen B prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen B Punkte einer Geraden angeben B ggb 98z2nn Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv