Mathematik HTL 1, Schulbuch

13 1.1 Natürliche Zahlen 25 Nimm eine Hand voll Heftklammern und berechne die Dezimalziffern der Anzahl dieser Heft- klammern durch Bilden von Zehnerhaufen. 26 Stelle die Anzahl der für den folgenden Text verwendeten Zeichen (ohne Leerzeichen) durch Dezimalziffern dar. Fasse die Zeichen in Gruppen von je 10 zusammen. Die Zahlworte in unserer Sprache entsprechen der Darstellung der Zahlen durch Dezimalziffern. Wir sagen zum Beispiel dreihundertsiebenundzwanzig und geben damit dreimal hundert und zweimal zehn und sieben wieder. Nur die Sprechreihenfolge entspricht nicht der Reihenfolge der Ziffern: Wir sprechen die Zehnerziffer nach der Einerziffer aus. In der englischen Sprache ist das nicht so, dreihundertsiebenundzwanzig heißt dort three hundred and twenty-seven, also kommt die Zehnerziffer vor der Einerziffer. Eine Besonderheit bei den Zahlwörtern gibt es in der französischen Sprache: In Frankreich wird statt achtzig (übersetzt) „vier mal zwanzig“ gesprochen, und statt dreiundneunzig (übersetzt) „vier mal zwanzig und dreizehn“. Zifferndarstellung natürlicher Zahlen zur Basis 2 Wenn wir beim Abzählen unserer Münzen nicht Zehnerhaufen, sondern nur Zweierhaufen (und dann nicht Hunderterhaufen, sondern Viererhaufen …) gebildet hätten, dann wäre zuerst entweder keine oder nur eine Münze, dann entweder kein oder nur ein Zweierhaufen, kein oder nur ein Viererhaufen und so weiter übriggeblieben. Wenn zum Beispiel zuerst eine Münze, dann kein Zweierhaufen, dann ein Viererhaufen und schließlich ein Achterhaufen übrigbleiben, dann haben wir insgesamt 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 + 1 Münzen. Wir können diese Zahl dann (ähnlich der Darstellung durch Dezimalziffern) kurz durch 1101 (sprich: „eins eins null eins“) darstellen. Achtung 1101 als Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl zur Basis 2 stellt die Zahl 2 3 + 2 2 + 1, also dreizehn, dar. Man darf sie nicht mit tausendeinhundertundeins verwechseln und sollte sie daher als „eins eins null eins“ lesen und sprechen. Um zu verdeutlichen, dass wir Ziffern zur Basis 2 oder zur Basis 10 verwenden, um eine Zahl dar- zustellen, schreiben wir häufig nach den Ziffern tiefgestellt die Zahl 2 oder 10. Nur wenn klar ist, welche Basis gemeint ist, lassen wir die tiefgestellte Zahl weg. Beispiele: Wir schreiben 10 2 oder 2 10 für die Zahl zwei, 11 2 oder 3 10 für die Zahl drei und 1010 2 oder 10 10 für die Zahl zehn. Zu jeder von 0 verschiedenen natürlichen Zahl a können wir eindeutig bestimmte natürliche Zahlen n, z n , z n – 1 , … , z 0 mit den Eigenschaften 0 ≠ z n , z n < 2, z n – 1 < 2, … , z 0 < 2 und a = z n ·2 n + z n – 1 ·2 n – 1 + … + z 1 ·2 + z 0 finden. Die Zahlen z n , z n – 1 , … , z 0 heißen Ziffern von a zur Basis 2 oder Binärziffern von a . Wir schreiben für Zum Beispiel schreiben wir für z n ·2 n + z n – 1 ·2 n – 1 + … + z 1 ·2 + z 0 1 ·2 4 + 0 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 + 1 einfach n z n – 1 … z 1 z 0 . einfach 10101 oder 10101 2 . Wir sagen, wir haben die Zahl durch Binärziffern dargestellt. Es genügt daher, Zeichen für die Zahlen Null und Eins zu wählen, dann kann man alle anderen Zahlen durch Aneinanderreihen dieser Zeichen darstellen. B B 1 0 4 8 Ziffern- darstellung natürlicher Zahlen zur Basis 2 Binärziffern Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv