Mathematik HTL 1, Schulbuch

129 3.3 Lineare Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten Insgesamt haben wir damit gezeigt: Die Lösungsmenge der Gleichung 3x + 4y = 8 ist die Gerade {(0, 2) + c·(4, ‒ 3) ‡ c * R} . Diese Gerade ist parallel zur Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung 3x + 4y = 0. Nach Wahl eines Koordinatensystems in der Ebene können wir diese Menge so zeichnen: Zuerst zeichnen wir die Gerade durch die Punkte (4, ‒ 3) und (0, 0) und verschieben dann diese Gerade parallel in den Punkt (0, 2). Wir nennen die Aufgabe „Gegeben sind drei Zahlen a, b und c, dabei ist a oder b nicht 0. Finde eine Beschreibung der Menge aller Zahlenpaare (x, y) mit ax + by = c.“ eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten . Wenn c nicht 0 ist, heißt sie inhomogen , sonst homogen . Wir schreiben für diese Aufgabe oft kurz: „Löse die Gleichung ax + by = c.“ Tipp Zum Lösen der inhomogenen linearen Gleichung ax + by = c mit zwei Unbekannten gehen wir so vor: Wir bestimmen irgendeine Lösung der Gleichung ax + by = c, zum Beispiel indem wir für  x oder y die Zahl 0 wählen: Wenn a nicht 0 ist, dann ist 2 c _ a , 0 3 eine Lösung. Wenn b nicht 0 ist, dann ist 2 0, c _ b 3 eine Lösung. Wir bezeichnen diese Lösung der Gleichung mit (p, q). Wenn die Gleichung homogen ist, dann ist (p, q) = (0, 0). Dann schreiben wir die Lösungsmenge der zugehörigen homogenen Gleichung ax + by = 0  an, diese ist {t·(b, ‒ a) ‡ t * R} . Die Lösungsmenge der Gleichung ax + by = c ist dann  {(p, q) + t·(b, ‒ a) ‡ t * R} . Wenn wir in der Zeichenebene ein Koordinatensystem  wählen, dann können wir die Lösungsmenge der Gleichung ax + by = c einzeichnen. Dazu zeichnen wir zuerst den Punkt (p, q) ein und dann die Gerade {t·(b, ‒ a) ‡ t * R} durch (0, 0) und (b, ‒ a). Schließlich bekommen wir {(p, q) + t·(b, ‒a) ‡ t * R} , indem wir {t·(b, ‒ a) ‡ t * R} in den Punkt (p, q) parallel verschieben. Man kann aber auch eine zweite Lösung (p', q') wählen,  zum Beispiel (p, q) + (b, ‒ a), und dann die Gerade durch die Punkte (p, q) und (p', q') zeichnen. Die Lösungsmenge der Gleichung ax + by = c ist die Gerade {(p, q) + t·(b, ‒ a) ‡ t * R} , wobei (p, q) irgendeine Lösung der Gleichung ist. 581 Löse die Gleichung 5x – 3y = 15. (3, 0) ist eine Lösung der Gleichung 5x – 3y = 15. Die Lösungsmenge der homogenen Gleichung 5x – 3y = 0 ist {c·(‒3, ‒5) ‡ c * R } = {c·(3, 5) ‡ c * R} . Die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung 5x – 3y = 15 ist daher die Gerade {(3, 0) + c·(3, 5) ‡ c * R} . Wir können diese Menge auch anders anschreiben: {(3, 0) + c·(3, 5) ‡ c * R} = {(0, ‒ 5) + c·(3, 5) ‡ c * R} = {(3, 0) + c·(6, 10) ‡ c * R} = … 0 x y 1 -1 - 2 - 3 2 3 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 (0 1 2) lineare Gleichung mit zwei Unbekannten 0 x y 1 1 b - a (b 1 - a) c b 0 1 ( ) c a 1 0 ( ) Lösungsmenge der Gleichung ax + by = c B eine inhomogene lineare Gleichung lösen ggb k67qy6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv