Mathematik HTL 1, Schulbuch

128 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten 577 Löse die homogene lineare Gleichung. a. 2x + 5y = 0 c. 2s – 3t = 0 e. 2z 2 = 0 b. x – y = 0 d. 3z 1 = 0 f. 549x + 4678y = 0 578 Löse die homogene lineare Gleichung. a. 3 _ 2 x – 2 _ 3 y = 0 c. ‒ 1 _ 5 s + 1 _ 7 t = 0 e. 1 _ 100 r + 10 ‒4 u = 0 b. 1 _ 2 a – 5 _ 3 b = 0 d. 10 ‒1 z 1 + 10 2 z 2 = 0 f. 3451,21x – 2873,98y = 0 579 Finde eine Gleichung der Geraden. Versuche, eine Gleichung ax + by = 0 mit ganzen Zahlen a und b zu finden. a. {c·(7, 3) ‡ c * R} d. die Gerade durch (0,0) und 2 7 _ 9 , 4 _ 13 3 b. { c· 2 3 _ 2 , ‒ 4 _ 5 3 † c * R } e. {c·(3,456, ‒1,987) ‡ c * R} c. die Gerade durch (0, 0) und (10 ‒4 , 2·10 ‒4 ) f. die Gerade durch (0, 0) und 2 7 _ 13 , 11 _ 20 3 580 Finde eine Gleichung der dargestellten Geraden. a. b. c. d. Inhomogene lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Was ändert sich, wenn wir statt der Aufgabe „Finde alle Zahlenpaare (x, y) so, dass 3x + 4y = 0 ist.“ die Aufgabe „Finde alle Zahlenpaare (x, y) so, dass 3x + 4y = 8 ist.“ lösen wollen? Der Nullpunkt (0, 0) ist nun keine Lösung mehr. Wir können aber trotzdem leicht eine Lösung finden: Wenn x = 0 ist, dann muss y = 2 sein. Also ist (0, 2) eine Lösung. Vielfache von (0, 2) sind aber leider keine Lösungen mehr. Du kannst das für 2·(0, 2) und 3·(0, 2) nachprüfen. Achtung Das gilt auch allgemein: Wenn (x, y) eine Lösung von 3x + 4y = 8 ist, dann gilt für das Doppelte der Lösung, (2x, 2y): 3·(2x) + 4·(2y) = 2·(3x + 4y) = 2·8 = 16 ≠ 8. Daher ist das Doppelte einer Lösung keine Lösung mehr. Wir machen aber die folgende wichtige Beobachtung: Wenn wir irgendeine Lösung (x', y') der Gleichung 3x + 4y = 0 zu einer Lösung (x'', y'') der Gleichung 3x + 4y = 8 addieren, dann ist die Summe dieser zwei Zahlenpaare wieder eine Lösung. Warum? Weil 3·(x' + x'') + 4·(y' + y'') = (3x' + 4y') + (3x'' + 4y'') = 0 + 8 = 8 ist! Damit wissen wir, dass die Menge {(0, 2) + c·(4, ‒ 3) ‡ c * R} in der Lösungsmenge der Gleichung 3x + 4y = 8 enthalten ist. Gibt es aber noch andere Lösungen? Nehmen wir an, dass (x'', y'') eine Lösung der Gleichung 3x + 4y = 8 ist, dann ist (x'', y'') – (0, 2) eine Lösung der Gleichung 3x + 4y = 0, weil ja 3·(x'' – 0) + 4·(y'' – 2) = (3x'' + 4y'') – 8 = 8 – 8 = 0 ist. Also gibt es eine Zahl c so, dass (x'', y'') – (0, 2) = c·(4, ‒ 3) ist. Damit ist aber (x'', y'') = (0, 2) + c·(4, ‒ 3), also (x'', y'') ebenfalls ein Element von {(0, 2) + c·(4, ‒ 3) ‡ c * R} . Wir haben somit gezeigt, dass jede Lösung unserer Gleichung auf der Geraden {(0, 2) + c·(4, ‒ 3) ‡ c * R } liegt. B B B A y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv