Mathematik HTL 1, Schulbuch

127 3.3 Lineare Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten Wir nennen die Aufgabe „Gegeben sind zwei Zahlen a und b, mindestens eine davon ist nicht 0. Finde eine Beschreibung der Menge aller Zahlenpaare (x, y) mit ax + by = 0.“ eine homogene lineare Gleichung mit zwei Unbekannten. Wir schreiben für diese Aufgabe oft kurz. „Löse die Gleichung ax + by = 0.“ Die gesuchte Menge aller Lösungen heißt dann Lösungsmenge dieser Gleichung. Das Wort „homogen“ zeigt an, dass auf der rechten Seite der Gleichung die Zahl 0 steht. Tipp Zum Lösen der homogenen linearen Gleichung ax + by = 0 mit zwei Unbekannten gehen wir so vor: Wir bestimmen eine Lösung der Gleichung, die nicht gleich (0, 0) ist. Um diese Lösung zu  finden, brauchen wir nicht zu rechnen, sondern müssen die Aufgabe nur gut anschauen: Das Zahlenpaar (b, ‒ a) ist auf jeden Fall eine Lösung, weil ja ab + b(‒ a) = ab – ab = 0 ist. Mit (b, ‒a) sind aber auch alle Vielfachen c·(b, ‒a) = (cb, ‒ca)  Lösungen, weil a·(cb) + b·(‒ ca) = c·(ab + b(‒ a)) = c·0 = 0 ist. Die Lösungsmenge der Gleichung ax + by = 0 ist daher  {c·(b, ‒ a) ‡ c * R} , die Menge aller Vielfachen von (b, ‒ a). Wenn wir in der Zeichenebene ein Koordinatensystem  wählen, können wir die Lösungsmenge {c·(b, ‒ a) ‡ c * R} der Gleichung ax + by = 0 als Gerade durch (0, 0) und (b, ‒ a) einzeichnen. Die Lösungsmenge der Gleichung a x + b y = 0 ist die Gerade durch den Nullpunkt {c·(b, ‒ a) ‡ c * R } . 575 Löse die homogene lineare Gleichung u + 2s = 0. Wir können die Lösungsmenge ohne Rechnen anschreiben, sie ist {c·(2, ‒1) ‡ c * R} . Wir können die Lösungsmenge auch mithilfe jeder anderen Lösung anschreiben: {c·(2, ‒1) ‡ c * R} = {c·(‒ 2, 1) ‡ c * R} = {c·(4, ‒ 2) ‡ c * R} = … Jede Gerade in R 2 durch (0, 0) ist die Lösungsmenge einer homogenen linearen Gleichung. Denn für die Gerade {c·(u, v) ‡ c * R} durch (0, 0) und (u, v) gehen wir den umgekehrten Weg zur zugehörigen Gleichung: Diese ist zum Beispiel vx + (‒u)y = 0. Die Gerade g, die in Parameterform durch {c·(u, v) ‡ c * R} dargestellt ist, ist die Lösungsmenge der Gleichung vx + (‒u)y = 0. Diese Gleichung und jede andere Gleichung, deren Lösungsmenge g ist, nennen wir eine Gleichung der Geraden g. Achtung Die Gleichung einer Geraden ist nicht eindeutig bestimmt. Mit vx + (‒u)y = 0 ist auch für jede von 0 verschiedene reelle Zahl t die Gleichung (tv)x + (‒ tu)y = 0 eine Gleichung der Geraden. 576 Stelle die Gerade durch (0, 0) und (3, 2) in Parameterform dar. Gib auch 3 Gleichungen dieser Geraden an. Parameterform: {c·(3, 2) ‡ c * R} . Gleichungen: 2x – 3y = 0; ‒ 4x + 6y = 0; ‒ 2x + 3y = 0 homogene lineare Gleichung mit zwei Unbekannten 0 x y 1 1 b - a (b 1 - a) Lösungsmenge der Gleichung ax + by = 0 B eine homogene lineare Gleichung lösen Gleichung einer Geraden B Parameterform und Gleichungen einer Geraden bestimmen Nur z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv