Mathematik HTL 1, Schulbuch

126 3.3 Lineare Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten Ich lerne eine einfache Aufgabe durch eine lineare Gleichung mit zwei oder drei Unbekannten zu beschreiben. Ich lerne eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten zu lösen, den Lösungsweg zu dokumentieren und nach Wahl eines Koordinatensystems in der Ebene die Lösungsmenge zeichnerisch darzustellen. Ich lerne die Gleichung einer Geraden in der Ebene zu bestimmen, den Lösungsweg zu dokumentieren und damit einfache Aufgaben zu lösen. Ich lerne eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten zu lösen und den Lösungsweg zu dokumentieren. Homogene lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Maria findet das Erraten von einer Zahl wie in Abschnitt 2.1 nicht mehr interessant. „Versuchen wir, Zahlenpaare zu erraten!“, schlägt Andreas vor. „Denk dir ein Paar von Zahlen. Multipliziere die erste mit 3, die zweite mit 4 und addiere die Ergebnisse. Welche Zahl hast du nun?“ Maria antwortet: „0! Welches Zahlenpaar habe ich mir gedacht?“ Andreas bezeichnet die zwei Zahlen, die sich Maria gedacht hat, mit x (die erste Zahl) und y (die zweite Zahl) und hat nun die Aufgabe „Finde das Zahlenpaar (x, y) so, dass 3x + 4y = 0 ist“ zu lösen. Er sieht sofort, dass (0, 0) eine Lösung ist, denn 3·0 + 4·0 = 0. Maria sagt jedoch: „Ich habe mir aber zwei ganz andere Zahlen gedacht!“ Andreas ist etwas verwirrt, sieht aber, dass auch (4, ‒ 3) eine Lösung ist, weil 3·4 + 4·(‒ 3) = 0 ist. Aber auch an diese Zahlen hatte Maria nicht gedacht! Offenbar hat die Gleichung 3x + 4y = 0 viele Lösungen. Suchen wir nun nach allen Zahlenpaaren (x, y), für die 3x + 4y = 0 ist. Wenn wir eine Lösung, also zum Beispiel (4, ‒ 3) mit irgendeiner Zahl z multiplizieren, so erhalten wir das Zahlenpaar (z·4, z·(‒ 3)). Wegen 3·(z·4) + 4·(z·(‒ 3)) = z·(3·4 + 4·(‒ 3)) = z·0 = 0 ist auch z·(4,‒ 3) eine Lösung. Alle Vielfachen einer Lösung sind also wieder Lösungen. Es gilt sogar: Die Menge aller Lösungen ist {c·(4,‒ 3) ‡ c * R} . Wir können uns leicht überlegen, dass alle Lösungen Vielfache von (4,‒ 3) sind: Wenn wir irgendeine Lösung (x, y) haben, dann muss 3x + 4y = 0 sein, also ist x = ‒ 4 _ 3 y und (x, y) = 2 ‒ 2 4 _ 3 3 ·y, y 3 = y· 2 ‒ 4 _ 3 , 1 3 = ‒ y _ 3 ·(4, ‒ 3), daher das ‒ y _ 3 -Fache von (4, ‒ 3). Wir können die Menge aller Lösungen {c·(4, ‒ 3) ‡ c * R} nach Wahl eines Koordinatensystems in der Ebene als Gerade durch die Punkte (4, ‒ 3) und (0, 0) darstellen. 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 (- 4 1 3) (0 1 0) (4 1 - 3) 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv