Mathematik HTL 1, Schulbuch

124 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten Wenn wir zu allen Punkten der Ebene {c·S + d·T ‡ c, d * R} einen vorgegebenen Punkt P addieren, erhalten wir {P + c·S + d·T ‡ c, d * R} , die Ebene durch P, die zu {c·S + d·T ‡ c, d * R} parallel ist. Diese Darstellung einer Ebene im Raum nennen wir ihre Parameterform . Im Unterschied zu einer Geraden werden die Punkte einer Ebene durch zwei Zahlen („Parameter“) beschrieben, das heißt, zu je zwei Zahlen c und d bekommen wir genau einen Punkt der Ebene, nämlich P + c·S + d·T. Wenn S, T und U im Raum nicht auf einer Geraden liegen, dann gibt es genau eine Ebene, die alle drei Punkte enthält. Diese drei Punkte sind in {S + c·(T – S) + d·(U – S) ‡ c, d * R} enthalten (für S wählen wir c = 0 und d = 0, für T wählen wir c = 1 und d = 0 und für U wählen wir d = 1 und c = 0). Also ist {S + c·(T – S) + d·(U – S) ‡ c, d * R} die Parameterform der Ebene durch die drei Punkte S, T, U . 558 Schreibe die Parameterform der Ebenen an, die durch die Punkte (4 1 1 1 0), (‒ 3 1 8 1 ‒ 5) und (0 1 ‒1 1 2) geht. {(4 1 1 1 0) + c·((‒ 3 1 8 1 ‒ 5) – (4 1 1 1 0)) + d·((0 1 ‒1 1 2) – (4 1 1 1 0)) ‡ c, d * R} = = {(4 1 1 1 0) + c·(‒7 1 7 1 ‒ 5) + d·(‒ 4 1 ‒ 2 1 2) ‡ c, d * R} 559 Schreibe die Parameterform der Ebene durch die drei Punkte S, T und U an. Schreibe dann 10 weitere Punkte dieser Ebene an. a. S = (0 1 0 1 0), T = (1 1 0 1 0), U = (0 1 0 1 1) d. S = (0 1 0 1 1), T = (‒ 2 1 0 1 1), U = (0 1 1 1 1) b. S = (0 1 0 1 0), T = (1 1 3 1 2), U = (4 1 ‒ 3 1 1) e. S = (‒ 2 1 3 1 1), T = (5 1 9 1 9), U = (3 1 1 1 ‒1) c. S = (1 1 0 1 0), T = (1 1 1 1 1), U = (4 1 0 1 2) f. S = (2 1 3 1 5), T = (1 1 ‒ 4 1 1), U = (‒ 5 1 6 1 2) 560 Die Punkte A = (0 1 0 1 0), B = (1 1 1 1 1) und D = (3 1 1 1 1) sind Eckpunkte eines Parallelogramms. B und D sind nicht durch eine Seite verbunden. a. Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes C des Parallelogramms. b. Das Parallelogramm liegt in der Ebene {A + c·(B – A) + d·(D – A) ‡ c, d * R} . Begründe das. 561 Die Punkte A = (1 1 2 1 3), B = (3 1 ‒1 1 2) und D = (0 1 1 1 ‒1) sind Eckpunkte eines Parallelogramms. B und D sind nicht durch eine Seite verbunden. a. Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes C des Parallelogramms. b. Das Parallelogramm liegt in der Ebene Ebene {A + c·(B – A) + d·(D – A) ‡ c, d * R} . Begründe das. 562 A = (2 1 3 1 2) und B = (1 1 0 1 ‒ 2) sind Punkte in R 3 . a. Überlege, wie man entscheiden kann, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden durch A und B liegt. Wie wurde das in R 2 gemacht? b. Wende das Ergebnis deiner Überlegungen auf die Punkte C = (4 1 1 1 1) und D = 2 3 _ 2 1 3 _ 2 1 0 3 an. 563 Die Punkte A = (1 1 1 1 1) B = (3 1 1 1 1) und C = (3 1 4 1 1) sind die Eckpunkte eines Parallelogramms. A und B sind benachbarte Ecken, A und C nicht. a. Gib die Parameterform der Geraden durch die Punkte A und C an. b. Gib die Parameterform der Ebene durch die Punkte A, B und C an. c. Gib die Parameterform der Ebene durch die Punkte A und B an. z x y S T P Parameterform einer Ebene im Raum Parameterform der Ebene im Raum durch 3 Punkte B Parameterform einer Ebene ermitteln B B, D B, D D B ggb 9w9z86 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv