Mathematik HTL 1, Schulbuch

123 3.2 Koordinaten in der Ebene und im Raum zwischen dem Punkt und seiner Koordinatenzeile oder -spalte nicht mehr zu unterscheiden. Wir sprechen dann einfach vom „Punkt (1 1 2 1 4)“. Achtung Wenn wir ein anderes Koordinatensystem wählen (zum Beispiel indem wir eine andere Einheit auf einer Achse wählen), dann ändern sich auch die Koordinaten der Punkte! Wir schreiben R 3 für die Menge aller Tripel von reellen Zahlen. Den Anschauungsraum betrachten wir als Menge seiner Punkte. Nach Wahl eines Koordinatensystems fassen wir den Raum und R 3 als gleich auf. 557 Wählt gemeinsam einen quaderförmigen Gegenstand in eurer Umgebung aus. Beschreibt seine Gestalt, indem jeder von euch ein Koordinatensystem wählt und die Koordinaten der Eckpunkte des Gegenstandes bestimmt. Vergleicht eure Ergebnisse für die Koordinaten der Eckpunkte. Dokumentiert die Unterschiede in eurem Heft. Geraden und Ebenen im Raum Wir wählen einen Punkt P, der nicht der Nullpunkt ist. Wenn wir P dann mit beliebigen Zahlen multiplizieren, erhalten wir die Gerade durch 0 und P. Also: Für einen Punkt P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) ≠ (0 1 0 1 0) bezeichnen wir die Menge {c·P ‡ c * R} = {c·(p 1 1 p 2 1 p 3 ) ‡ c * R} = = {(c·p 1 1 c·p 2 1 c·p 3 ) ‡ c * R} aller Vielfachen eines Punktes P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) als Gerade durch 0 und P. Wenn wir zu jedem Punkt der Geraden {c·P ‡ c * R} einen Punkt Q addieren, erhalten wir die Menge {Q + c·P ‡ c * R} . Zeichnerisch erhalten wir diese Menge, indem wir die Gerade {c·P ‡ c * R} in den Punkt Q parallel verschieben. Diese Beschreibung {Q + c·P ‡ c * R} einer Geraden nennen wir die Parameterform der Geraden. Sie beschreibt die Gerade durch Q, die zu {c·P ‡ c * R} parallel ist. Zu jeder reellen Zahl c (dem „Parameter“) erhalten wir genau einen Punkt, nämlich Q + c·P, auf der Geraden. Das sieht ganz gleich aus wie für Geraden in der Ebene, aber P und Q sind jetzt Punkte im Raum, die durch Zahlentripel (und nicht durch Zahlenpaare wie in der Ebene) beschrieben werden. Da sowohl P = P + Q·(Q – P) als auch Q = P + 1·(Q – P) auf der Geraden {P + c·(Q – P) ‡ c * R} = {Q + c·(P – Q) ‡ c * R} liegen, ist diese die (eindeutig bestimmte) Gerade durch die Punkte P und Q . Wenn S und T Punkte im Raum sind, die nicht zusammen mit 0 auf einer Geraden liegen, dann ist die Menge {c·S + d·T ‡ c, d * R} aller Linearkombinationen von S und T die von den Geraden {c·S ‡ c * R} und {d·T ‡ d * R} erzeugte Ebene im Raum . Diese Ebene enthält den Nullpunkt. R 3 , die Menge aller Tripel reeller Zahlen A, C P 0 z y x p 2 p 1 p 3 Gerade im Raum durch den Nullpunkt Q z x y P 0 Parameterform einer Geraden im Raum eine Gerade durch 2 Punkte T z x y S Ebene im Raum durch den Nullpunkt ggb g82a6p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv