Mathematik HTL 1, Schulbuch

122 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten 555 Wähle ein Koordinatensystem. Zeichne die Punkte P = (‒1 1 3) und Q = (2 1 1) in das Koordinaten- system ein. a. Zeichne die Gerade durch die Punkte P und Q. Bestimme die Parameterform dieser Geraden. b. Zeichne nun die Punkte X 1 = (2 1 2), X 2 = (3 1 ‒1), X 3 = (‒ 2 1 3) und X 4 = (‒ 4 1 5) und überprüfe graphisch und rechnerisch, ob die Punkte auf der Geraden durch P und Q liegen. 556 a. Zeichne die Punkte P 1 = (‒ 2 1 2) und P 2 = (4 1 ‒ 3) mithilfe einer DGS. Zeichne die Gerade durch P 1 und P 2 . Zeichne die Punkte P 3 = (‒1 1 ‒1), P 4 = 2 6 1 ‒ 14 _ 3 3 , P 5 = 2 0 1 1 _ 3 3 und P 6 = 2 2 1 ‒ 5 _ 3 3 und stelle eine Vermutung auf, welche dieser Punkte auf der Geraden liegen. b. Wie lautet die Parameterform der Geraden, die durch P 1 und P 2 geht? c. Rechne nach, ob die Punkte P 3 , P 4 , P 5 und P 6 auf der Geraden liegen. Koordinaten im Raum Betrachten wir statt der Zeichenebene den Anschauungsraum, dann genügen zur Beschreibung von dessen Punkten nicht Zahlenpaare, wir brauchen Zahlentripel. Wir zeichnen im Raum drei Zahlengeraden g 1 , g 2 und g 3 , die nicht alle drei in einer Ebene liegen und die einander in ihren Null- punkten schneiden. Diesen Schnittpunkt bezeichnen wir mit 0 und nennen ihn den Nullpunkt des Raumes. Wir sagen dann, dass wir im Raum ein Koordinatensystem gewählt haben. Die Geraden g 1 , g 2 und g 3 nennen wir die erste, die zweite und die dritte Koordinatenachse oder die x-Achse, y-Achse und z-Achse . Den Nullpunkt des Raumes nennt man auch Koordinaten- ursprung . Die Zahl 1 auf einer Koordinatenachse nennen wir die Einheit (auf dieser Koordinatenachse). Wenn P ein Punkt des Raums ist, dann verschieben wir die Ebene durch g 2 und g 3 parallel in den Punkt P. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Zahlengeraden g 1 legt eine Zahl fest, wir nennen sie p 1 . Auf ähnliche Weise bekommen wir Zahlen p 2 und p 3 auf den Geraden g 2 und g 3 . Wir nennen p 1 , p 2 und p 3 die Koordinaten von P (bezüglich des gewählten Koordinatensystems). Der Punkt P ist dann eindeutig durch das Zahlentripel (p 1 , p 2 , p 3 ) bestimmt. Um Verwechslungen mit dem Komma zu vermeiden, schreiben wir häufig (p 1 1 p 2 1 p 3 ) statt (p 1 , p 2 , p 3 ). Schreiben wir dieses Zahlentripel als Spalte bzw. Zeile, dann nennen wir es die Koordinatenspalte bzw. Koordinatenzeile von P. Ein Punkt auf der ersten Koordinatenachse hat die Koordinaten (p 1 1 0 1 0), ein Punkt auf der zweiten Koordinatenachse hat die Koordinaten (0 1 p 2 1 0) und ein Punkt auf der dritten Koordinatenachse hat die Koordinaten (0 1 0 1 p 3 ). Der Einheit auf der ersten Koordinatenachse entspricht der Punkt mit den Koordinaten (1 1 0 1 0). Der Einheit auf der zweiten Koordinatenachse entspricht der Punkt mit den Koordinaten (0 1 1 1 0). Der Einheit auf der dritten Koordinatenachse entspricht der Punkt mit den Koordinaten (0 1 0 1 1). Wie für die Ebene gilt auch für den Raum: Wenn wir ein Koordinatensystem fest gewählt haben, ist jeder Punkt durch seine Koordinatenzeile oder -spalte eindeutig bestimmt. Wir brauchen dann B B 1 1 1 0 g 1 g 2 g 3 Wahl eines Koordinaten- systems im Raum p 3 p 1 P p 2 1 1 1 g 3 g 1 g 2 Koordinaten eines Punktes im Raum ggb 4hk8az Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv