Mathematik HTL 1, Schulbuch

120 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten Geraden in der Ebene Wir wählen einen Punkt P in der Ebene, der nicht der Nullpunkt ist. Die Menge {c·P ‡ c * R} ist die Gerade durch 0 und P. Wenn wir zu jedem Punkt dieser Geraden den Punkt Q addieren, erhalten wir die Menge {Q + c·P ‡ c * R} . Zeichnerisch erhalten wir diese Menge, indem wir die Gerade {c·P ‡ c * R} in den Punkt Q parallel verschieben. Diese Beschreibung {Q + c·P ‡ c * R} einer Geraden nennen wir die Parameterform der Geraden. Sie beschreibt die Gerade durch Q, die zu {c·P ‡ c * R} parallel ist. Zu jeder reellen Zahl c (dem „Parameter“) erhalten wir genau einen Punkt, nämlich Q + c·P, auf der Geraden. Da sowohl P = P + 0·(Q – P) als auch Q = P + 1·(Q – P) auf der Geraden {P + c·(Q – P) ‡ c * R} liegen, ist diese die (eindeutig bestimmte) Gerade durch die Punkte P und Q. 546 Eine Gerade geht durch die Punkte P = (3 1 ‒ 2) und Q = (2 1 1). Ermittle die Parameterform der Geraden und überprüfe, ob die Punkte R = (1 1 4) und T = (5 1 ‒ 4) auf dieser Geraden liegen. Die Gerade durch P und Q ist g = {P + c·(Q – P) ‡ c * R} = {(3 1 ‒ 2) + c·(‒1 1 3) ‡ c * R} = {(3 – c 1 ‒ 2 + 3c) ‡ c * R} . Wenn der Punkt R = (1 1 4) auf der Geraden g liegt, muss es eine Zahl c geben, sodass 3 – c = 1 ist und gleichzeitig ‒ 2 + 3c = 4 ist. Wenn wir also rechnerisch überprüfen wollen, ob der Punkt R auf der Geraden g liegt, müssen wir die zwei linearen Gleichungen mit einer Unbekannten 3 – c = 1 und ‒ 2 + 3c = 4 lösen. Nur wenn beide Gleichungen dieselbe Lösung haben, liegt der Punkt auf der Geraden. 3 – c = 1 1 – 3 ‒ c = ‒ 2 1 ·(‒1) c = 2 und ‒ 2 + 3c = 4 1 +2 3c = 6 1 : 3 c = 2 Der Punkt R liegt also auf der Geraden g. Für den Punkt T = (5 1 ‒ 4) hingegen gilt: 3 – c = 5 1 – 3 ‒ c = 2 1 ·(‒1) c = ‒ 2 aber ‒ 2 + 3c = ‒ 4 1 + 2 3c = ‒ 2 1 : 3 c = ‒ 2 _ 3 Der Punkt T liegt daher nicht auf der Geraden g. x 1 y 0 1 Q Q + P Q + P P P1 2 1 2 P3 2 Parameterform einer Geraden in der Ebene x 1 y 0 1 P Q Q – P Gerade durch zwei Punkte B Parameterform einer Geraden ermitteln und prüfen, ob Punkte auf der Geraden liegen y x 0 - 4 - 2 2 4 6 - 6 2 4 - 4 - 2 - 6 T P g R Q Q – P ggb uy65h6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv