Mathematik HTL 1, Schulbuch

12 Zahlen Zifferndarstellung natürlicher Zahlen zur Basis 10 Wie können wir vorgehen, wenn wir viele 1-€-Münzen haben und ihre Anzahl anschreiben wollen? Wir bilden zuerst Haufen von jeweils 10 1-€-Münzen. Nehmen wir an, dass dann 3€ überbleiben.   Dann schieben wir wieder jeweils 10 Zehnerhaufen zu Hunderterhaufen zusammen. Nehmen wir an, dass dabei 4 Zehnerhaufen übrig bleiben und wir 2 Hunderterhaufen haben. Dann haben wir insgesamt 2·10  2 + 4·10 + 3 1-€-Münzen. Für diese Zahl schreiben wir 243. Durch dieses „Wegnehmen“ und „Übriglassen“ haben wir 2-mal mit Rest dividiert: Um die Zahlen 2, 4 und 3 zu bestimmen, sind wir so vorgegangen: Zuerst haben wir die Anzahl aller 1-€-Münzen durch 10 dividiert (durch mehrfaches Weg-  nehmen von Zehnerhaufen), der Rest war 3. Dann haben wir die Anzahl aller Zehnerhaufen mit Rest durch 10 dividiert (durch mehrfaches  Wegnehmen von Hunderterhaufen), der Rest war 4 und die Anzahl der Hunderterhaufen war 2. Wenn wir dasselbe für irgendeine Zahl a machen, können wir es kurz so beschreiben: Wenn a eine natürliche Zahl ist, dann dividieren wir sie mit Rest durch 10 und erhalten  a = m 1 ·10 + z 0 , wobei z 0 < 10 ist (m 1 ist der ganzzahlige Quotient und z 0 der Rest). Wenn m  1 gleich 0 ist, dann sind wir fertig und a = z 0 , sonst dividieren wir m 1 mit Rest durch 10 und erhalten m 1 = m 2 ·10 + z 1 , wobei z 1 < 10 ist. Also ist a = (m 2 ·10 + z 1 )·10 + z 0 = m 2 ·10 2 + z 1 ·10 + z 0 . Wenn m  2 gleich 0 ist, dann sind wir fertig und a = z 1 ·10 + z 0 , sonst dividieren wir m 2 mit Rest durch 10 und machen wie oben weiter. Damit haben wir gezeigt: Zu jeder von 0 verschiedenen natürlichen Zahl a können wir eindeutig bestimmte natürliche Zahlen n, z n , z n – 1 , … , z 0 mit den Eigenschaften 0 ≠ z n , z n < 10, z n – 1 < 10, … , z 0 < 10 und a = z n ·10 n + z n – 1 ·10 n – 1 + … + z 1 ·10 + z 0 finden. Die Zahlen z n , z n – 1 , … , z 0 heißen Ziffern von a zur Basis 10 oder Dezimalziffern von a. Wir schreiben für Zum Beispiel schreiben wir für z n ·10 n + z n – 1 ·10 n – 1 + … + z 1 ·10 + z 0 4 ·10 4 + 7 ·10 3 + 1 ·10 2 + 3 ·10 + 8 einfach z n z n – 1 … z 1 z 0 . einfach 47138 . Wir sagen, wir haben die Zahl durch Dezimalziffern dargestellt. So genügt es, Zeichen für die Zahlen von null bis neun zu wählen, dann kann man alle anderen Zahlen durch Aneinanderreihen dieser Zeichen darstellen. Wenn wir die Dezimalziffern einer Zahl noch nicht kennen, dann können wir sie durch mehrfache Division mit Rest durch 10 berechnen. 24 Schreibe die Zahl nach dem Muster 47138 = 4·10 4 + 7·10 3 + 1·10 2 + 3·10 + 8 an. a. 2015 b. 26925 c. 333 d. 867007 2 ∙ 10 ∙ 10 4 ∙ 10 3 Ziffern- darstellung natürlicher Zahlen zur Basis 10 Dezimalziffern B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv