Mathematik HTL 1, Schulbuch

116 3.2 Koordinaten in der Ebene und im Raum Ich lerne nach Wahl eines Koordinatensystems in der Zeichenebene Punkte mit gegebenen Koordinaten einzuzeichnen bzw. die Koordinaten von Punkten aus der Zeichnung abzulesen. Ich lerne Geraden in der Ebene in Parameterform darzustellen und mit dieser einfache Berechnungen durchzuführen. Ich lerne Geraden und Ebenen im Raum in Parameterform darzustellen und mit dieser einfache Berechnungen durchzuführen. Koordinaten in der Ebene Wir zeichnen in die Zeichenebene zwei Zahlengeraden g 1 und g 2 so ein, dass diese einander in ihren Nullpunkten schneiden. Diesen Schnittpunkt in der Ebene bezeichnen wir mit 0 und nennen ihn den Nullpunkt der Ebene. Wir sagen dann, dass wir in der Ebene ein Koordinatensystem gewählt haben. Die Geraden g 1 und g 2 nennen wir die erste und die zweite Koordinatenachse . Häufig nennt man sie auch die x-Achse und die y-Achse. Den Nullpunkt der Ebene nennt man auch Koordinaten- ursprung . Die Zahl 1 auf einer Koordinatenachse nennen wir die Einheit (auf dieser Koordinatenachse). Wenn P ein Punkt der Zeichenebene ist, dann verschieben wir g 1 bzw. g 2 parallel in den Punkt P. Diese zwei neuen Geraden nennen wir h 1 und h 2 . Der Schnittpunkt von h 2 mit g 1 bzw. von h 1 mit g 2 legt eine Zahl auf der Zahlengeraden g 1 bzw. g 2 fest. Wir bezeichnen sie mit p 1 bzw. p 2 . Wir nennen p 1 und p 2 die Koordinaten von P (bezüglich des gewählten Koordinatensystems). Der Punkt P ist dann eindeutig durch das Zahlenpaar (p 1 , p 2 ) bestimmt. Um Verwechslungen mit dem Komma zu vermeiden, schreiben wir häufig (p 1 1 p 2 ) statt (p 1 , p 2 ). Schreiben wir dieses Zahlenpaar als Spalte bzw. Zeile, dann nennen wir es die Koordinatenspalte bzw. Koordinatenzeile von P. Ein Punkt liegt genau dann auf der ersten bzw. zweiten Koordinatenachse, wenn seine zweite bzw. erste Koordinate gleich 0 ist. Der Einheit auf der ersten Koordinatenachse entspricht der Punkt mit den Koordinaten (1 1 0). Der Einheit auf der zweiten Koordinatenachse entspricht der Punkt mit den Koordinaten (0 1 1). Wenn wir ein Koordinatensystem fest gewählt haben, ist jeder Punkt durch seine Koordinatenzeile oder -spalte eindeutig bestimmt. Wir brauchen dann zwischen dem Punkt und seiner Koordinaten- zeile oder -spalte nicht mehr zu unterscheiden. Wir sprechen dann einfach vom „Punkt (1 1 2)“ oder vom „Punkt mit den Koordinaten (1 1 2)“. Achtung Wenn wir ein anderes Koordinatensystem wählen (zum Beispiel indem wir eine andere Einheit auf einer Achse wählen), dann kann derselbe Punkt eine andere Koordinatenzeile haben! g 1 1 g 2 0 1 Wahl eines Koordinaten- systems in der Ebene 1 g 2 g 1 0 1 P p 2 p 1 h 1 h 2 Koordinaten eines Punktes in der Ebene ggb 8n2m8h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv