Mathematik HTL 1, Schulbuch

111 3.1 Rechnen mit Zeilen und Spalten Dies ist eine Zusammenfassung für die 6 Rechnungen, die mit den Komponenten der Spalten – also mit Zahlen – durchgeführt werden. Daher muss auch hier zuerst für jede Spalte das Vielfache berechnet werden und erst danach die Summe der 5 (neuen) Spalten („Punkt- vor Strichrech- nung“). Es ist gleich, in welcher Reihenfolge die Additionen ausgeführt werden, auch die Reihen- folge der Summanden darf vertauscht werden. Wir schreiben x für (x 1 , x 2 , …, x n ), y für (y 1 , y 2 , …, y n ), z für (z 1 , z 2 , …, z n ). Dann sind x, y, und z drei Zahlentupel mit n Komponenten (n > 0). Wir schreiben 0 auch für (0, 0, …, 0) das Tupel, dessen Komponenten alle 0 sind. Wir nennen 0 das n-Tupel Null (bzw. Nullzeile , Nullspalte mit n Komponenten). Mit c und d bezeichnen wir beliebige Zahlen. Es gelten die folgenden Rechenregeln. (x + y) + z = x + (y + z) Beim mehrfachen Addieren von Zahlentupel kommt es auf die Reihenfolge des Addierens nicht an. Klammern können weggelassen werden. x + y = y + x Beim Addieren von Zahlentupeln dürfen die Summanden vertauscht werden. (c·d)·x = c·(d·x) (c + d)·x = (c·x) + (d·x) Statt (c·x) + (d·x) schreiben wir einfach c·x + d·x. Auch für das Rechnen mit Zahlentupeln vereinbaren wir: Punktrechnung (Multiplikation eines Zahlentupels mit einer Zahl) vor Strichrechnung! Beachte: x, y und z bezeichnen beliebige Zahlentupel, c und d aber beliebige Zahlen! Das Zeichen + verwenden wir sowohl für die Addition von Zahlen als auch für die Addition von Zahlentupeln. In (c + d)·x = (c·x) + (d·x) bedeutet das erste + eine Addition von Zahlen, das zweite eine Addition von Zahlentupeln. Wenn x, y, z … Zahlentupel sind und c, d, e … Zahlen, dann können wir x mit der Zahl c, y mit der Zahl d, z mit der Zahl e … multiplizieren und dann alle diese Zahlentupel aufsummieren: c·x + d·y + e·z + … Wir erhalten dann wieder ein Zahlentupel und nennen dieses eine Linearkombination der Zahlentupel x, y, z… 510 Berechne die Linearkombination 3·(1, 2) + 2·(0, 1) + 3·(2, 1) + 1·(1, 1). 3·(1, 2) + 2·(0, 1) + 3·(2, 1) + 1·(1, 1) = (3, 6) + (0, 2) + (6, 3) + (1, 1) = (10, 12) 511 Berechne die Linearkombination. a. 3· 2 ‒ 22 1 6 3 – 2· 2 ‒13 ‒ 20 15 3 + 2· 2 ‒ 23 24 4 3 = c. 4· 2 1 _ 3 2 5 _ 6 3 – 5· 2 1 _ 5 1 _ 2 2 _ 5 3 + 1 _ 3 · 2 1 _ 4 5 _ 3 4 3 = e. 1· 2 24 ‒14 ‒15 ‒ 25 3 – 2· 2 4 1 23 9 3 + 2· 2 16 8 8 1 3 = b. ‒ 3· 2 17 ‒ 4 ‒17 3 + 2· 2 23 ‒7 ‒ 20 3 + 2 ‒10 6 1 3 = d. 10 2 · 2 10 4 10 ‒4 10 ‒3 3 + 1 _ 10 · 2 10 10 ‒4 1 _ 100 3 = f. 1 _ 4 · 2 5 1 _ 3 8 3 + 0,2· 2 5 1 _ 7 1 _ 3 3 + 4 _ 3 · 2 1 _ 8 ‒ 2 6 _ 5 3 = Rechenregeln für Zahlentupel Assoziativ- gesetz Kommutativ- gesetz Linear- kombination B Linearkombination berechnen B mcd 4jy86s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv