Mathematik HTL 1, Schulbuch

102 Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Unbekannten Auf beiden Seiten des Ungleichheitszeichens darf mit derselben negativen Zahl multipliziert oder durch dieselbe negative Zahl dividiert werden, wenn gleichzeitig das Ungleichheitszeichen „umgedreht“ wird. Wenn zum Beispiel 3z + 4 < 5 ist, dann ist 3z + 4 _ ‒3 > 5 _ ‒3 , also ‒ z – 4 _ 3 > ‒ 5 _ 3 . Wir schreiben kurz: 3z + 4 < 5 ! : (‒ 3) ‒ z – 4 _ 3 > ‒ 5 _ 3 470 Löse die Ungleichung 3z + 4 ª 5. 3z + 4 ª 5 ! – 4 3z ª 1 ! : 3 z ª 1 _ 3 Wir können nun direkt ablesen: Die Lösungsmenge der Ungleichung 3z + 4 ª 5 ist { z * R‡ z ª 1 _ 3 } = 2 ‒ • ; 1 _ 3 5 . Dies ist die negative Halbgerade mit Anfangspunkt 1 _ 3 . 471 Löse die Ungleichung und stelle die Lösungsmenge auf der Zahlengeraden dar. a. x ª 1 e. 12u – 5 ª 22 b. z + 2 º 4 f. (3a + 5)·2 + 3 – 2a ª 4a + 1 – 2(5a – 3)·4 c. t – 4 < 2t + 1 g. 2(3c + 2c) – 3 + 4c º ‒ c + 2(3c + 4 + 5) d. ‒ 2b + 1 º ‒ 5 h. 1 _ 2 x + 3 º 5 472 Löse die Ungleichungen aus Aufgabe 471 mithilfe eines CAS. 473 Stelle die Aufgabe bzw. Frage in Form einer Gleichung oder Ungleichung mit einer Unbekannten dar. Vereinfache diese Darstellung so weit wie möglich und gib die Lösungsmenge an. a. Das Doppelte einer Zahl ist größer als 17. Beschreibe die Menge dieser Zahlen. b. Lotte bekommt um 2€ mehr Taschengeld als Fritz. Gemeinsam bekommen sie aber nicht weniger als 50€. Welche Beträge kommen für das Taschengeld von Fritz in Frage? c. Eine Seite eines Rechtecks ist um 6 cm länger als die andere. Der Umfang beträgt 120 cm. Welche Länge kann die kürzere Seite des Rechtecks haben? d. Zieht man vom Dreifachen einer Zahl die Hälfte derselben Zahl ab, so ist das Ergebnis mindestens so groß wie die Zahl selbst. Wie groß kann diese Zahl sein? e. Für welche Zahlen ist die Hälfte der Zahl größer als die Zahl selbst? f. Für welche Zahlen ist das Dreifache der Zahl um 2 größer als die Zahl selbst? 474 Begründe durch Rechnung. a. Sind drei Zahlen a, b, c gegeben und ist a > 0, so ist die lineare Ungleichung az + b ª c äquivalent zur linearen Ungleichung z ª c – b _ a . b. Sind drei Zahlen a, b, c gegeben und ist a < 0, so ist die lineare Ungleichung az + b > c äquivalent zur linearen Ungleichung z < c – b _ a . 475 Der Stromanbieter Licht und Wärme verlangt eine Grundgebühr von 20€ und eine Gebühr von 0,05€ pro Kilowattstunde, der Stromanbieter Stadtstrom verlangt 22€ Grundgebühr und 0,04€ pro Kilowattstunde. Bereche, bis zu welchem Stromverbrauch der Anbieter Licht und Wärme billiger ist. 476 Ein kleiner Handwerksbetrieb stellt Tische her und hat jedes Monat Fixkosten von 7500€. Für jeden Tisch muss der Betrieb 250€ investieren und kann diesen dann um 480€ verkaufen. Wie viele Tische muss der Betrieb im Monat mindestens absetzen, damit er Gewinn macht? B eine lineare Ungleichung mit einer Unbekannten lösen B B A D A, B A, B ggb/mcd/tns m5j2r4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv