Mathematik HTL 1, Schulbuch

101 2.5 Mengen und lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten Lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten Aufgaben der Art „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 3z + 4 < 5“ oder „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 3z + 4 > 5“ oder „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 3z + 4 ª 5“ oder „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 3z + 4 º 5“ nennen wir lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten . Die gesuchte Menge heißt dann Lösungsmenge der Ungleichung. Besonders einfache Ungleichungen sind die folgenden Aufgaben: Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit z ª 2“ ist  {z * R‡ z ª 2} = ( ‒ • ; 2], die negative Halbgerade mit Anfangspunkt 2. 2 0 Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit z º 2“ ist  {z * R‡ z º 2} = [2; • ), die positive Halbgerade mit Anfangspunkt 2. 2 0 Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit z < 2“ ist  {z * R‡ z < 2} = ( ‒ • ; 2), die negative offene Halbgerade mit Anfangspunkt 2. 2 0 Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit z > 2“ ist  {z * R‡ z > 2} = (2; • ), die positive offene Halbgerade mit Anfangspunkt 2. 2 0 Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 0 < 1 bzw. 0 < ‒1“  ist R bzw. { }, weil für jede Zahl 0 < 1 ist bzw. für keine Zahl 0 < ‒1 ist. Tipp Zum Lösen von komplizierteren Ungleichungen verwenden wir die folgende Vorgangsweise: Wenn wir eine Aufgabe nicht sofort lösen können, dann verändern wir die Aufgabe so, dass sie einfacher wird, zugleich aber dieselbe Lösungsmenge wie die ursprüngliche Aufgabe hat. Dies wiederholen wir so lange, bis die Aufgabe so leicht geworden ist, dass wir sie lösen können. Zwei Ungleichungen, die dieselbe Lösungsmenge haben, nennen wir äquivalent . Den Übergang von einer Ungleichung zu einer äquivalenten Ungleichung nennen wir erlaubte Umformung oder Äquivalenzumformung einer Ungleichung. Neben dem Auflösen bzw. Ausmultiplizieren von Klammern und dem Zusammenfassen sind die folgenden Umformungen Äquivalenzumformungen. Auf beiden Seiten des Ungleichheitszeichens darf dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 < 5 ist, dann ist auch 3z + 4 + 5 < 5 + 5, also 3z + 9 < 10. Wir schreiben kurz: 3z + 4 < 5 ! + 5 3z + 9 < 10 Auf beiden Seiten des Ungleichheitszeichens darf mit derselben positiven Zahl multipliziert oder durch dieselbe positive Zahl dividiert werden. Wenn zum Beispiel 3z + 4 < 5 ist, dann auch (3z + 4)·2 < 5·2, also 6z + 8 < 10. Wir schreiben kurz: 3z + 4 < 5 ! ·2 6z + 8 < 10 lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten äquivalent Äquivalenz- umformung Äquivalenz- umformungen von Ungleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv