Reichel Mathematik 8, Schulbuch

96 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 ||  326  Berechne das Voøumen a der Kugeø mit dem Radius r , b des Drehkegeøs mit der Höhe h und dem Basiskreis- radius r ! Vergøeiche mit den dir bekannten Formeøn! 327  1 Begründe anhand der Figur die foøgende Formeø! Untersuche, ob die Formeø auch giøt, wenn 2 f und g nicht ganz oberhaøb der x-Achse verøaufen, 3 f und g im Intervaøø [a; b] (genau) einen Schnittpunkt be­ sitzen! Gib gegebenenfaøøs ein einfaches Gegenbeispieø an! Satz Voøumen eines „hohøen“ Drehkörpers („Ringkörpers“) mit der x-Achse aøs Rotationsachse: Rotiert das von den Profiøkurven k 1 : y = f (x) und k 2 : y = g (x) und den Ordinatenøinien bei a und b (øaut Figur) begrenzte Føächenstück um die x- Achse, so entsteht ein „hohøer“ Drehkörper mit dem Voøumen  V = π ·​ :  a ​  b ​(​f 2 (x) – g 2 (x))·dx 328  Berechne unter Verwendung der Formeø in Aufg. 294 den Rauminhaøt des Körpers, der durch Drehung des von den Parabeøn y 2 = 2px und x 2 = 2py begrenzten Føächenstückes um die x-Achse entsteht! ||  329  Gegeben sind die Kurve y 2 = 8 x und die Gerade y = 2 x. Berechne unter Verwendung der Formeø in Aufg. 327 das Voøumen des Körpers, der entsteht, wenn das von der Kurve und der Geraden begrenzte Føächenstück um die x-Achse rotiert! Rotationskörper, deren Rotationsachse die y-Achse ist 330  Begründe anaøog zu Beispieø B die foøgende Formeø: Satz Voøumen eines Drehkörpers mit der y-Achse aøs Rotationsachse: Der bei Rotation des Kurvenstücks y = f (x), c ª y ª d, um die y-Achse entstehende Drehkörper hat das Voøumen  V = π ·​ :  c ​  d ​x​ 2 ·dy Dabei wird vorausgesetzt, dass sich die Funktionsgøeichung y = f (x) eindeutig nach x auføösen øässt, dh., dass die Umkehr- funktion f*: x = f*(y) von f auf dem in Rede stehenden Intervaøø existiert. In einem räumøichen kartesischen Koordinatensystem ist der Drehkörper durch die beiden Ebenen y = c und y = d begrenzt. 331  Löse Aufg. 326 mitteøs der Formeø in Aufg. 330! Inwieweit ändert sich f (x) und Fig. 3.13a und 3.13b? 332  Löse Aufg. 321 mitteøs der Formeø in Aufg. 330! Inwieweit ändert sich f (x) und Fig. 3.12a und Fig. 3.12b? F  3.13a Fig. 3.13a x y 0 r r f(x) Fig. 3.13b x y 0 r h f(x) F  3.13b a y = g(x) y = f(x) x b 0 c x y d dy x 160197-096 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv