Reichel Mathematik 8, Schulbuch

95 3.2 Rauminhalt von Körpern 3 Liegen die Querschnittsflächen q (x) nicht um die x-Achse, sondern um eine beliebige Kurve zentriert, können aber durch eine Parallelverschie- bung normal zur x-Achse in eine um die x-Achse zentrierte Lage ge- bracht werden, so kann man die obige Regel ebenfalls anwenden. Erøäutere anhand von Fig. 3.11, warum der Drehkegeø und das „Horn“ gøeiches Voøumen haben! Weøche Grundidee steht dahinter? Die dahinter stehende Idee ist bekannt als Satz Das CAVALIERI’sche Prinzip: 1 Zwei Körper, die auf einer („Nuøø“-)Ebene ε 0 ruhen und in jeder dazu paraøøeøen Ebene ε zueinander føächengøeiche (nicht notwendig kongruente) Querschnitte besitzen, haben gøeiches Voøumen. Beweise und veranschauøiche das CAVALIERI’sche Prinzip ! Wie kann man damit das Voøumen von schiefen Prismen, Pyramiden, Kreiskegeøn und Kreiszyøindern berechnen ? Erøäutere dies spezieøø für den schiefen Kreiszyøinder mitteøs eines Münzenstapeøs! Rotationskörper, deren Rotationsachse die x-Achse ist: || 321 Ermittøe die Inhaøtsformeø a des Kugeøabschnittes von der Höhe h und dem Schnittkreisradius r 1 , b der Kugeøschichte von der Höhe h und den Schnittkreisradien r 1 und r 2 ! | 322 Das Føächenstück, das vom Graphen der Funktion f: y = f (x), der x-Achse und den Ordinatenøinien in den Endpunkten des Intervaøøs [a; b] begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Berechne den Rauminhaøt des entstehenden Drehkörpers! a y =   1 _ 2 ·x, [0; 6] b y =   2 _ 3 ·x + 3, [‒3; 6] c y = e x , [‒1; 2] d y = ønx, [1; e] | 323 Wie Aufg. 322. a y = 3 9 _  x, [1; 8] b y = 1/ 3 9 _  x, [1; 8] c y = (x – 4)· 9 _  x, [0; 4] d y = x· 9 ___ 6 – x, [0; 6] 324 Wie Aufg. 322. a y = sin (a·x), [0; π /a] b y = cos (x/a), [0; a· π /2] c y = tanx, [0; π /4] d y = cot x, [ π /4; π /2] || 325 Wie Aufg. 322. a y = a·x 2 , [0; a] b y = 9 ___ 2px, [0; 2p] c y =   b _  a · 9 ____ a  2 – x  2 , [‒a; a] d y =   b _ a · 9 ____ a  2 + x  2 , [‒a; a] 1 Bonaventura CAVALIERI (1598–1647), ital. Mathematiker, Schüler Galileo GALILEIs Fig. 3.11 x x ε 0 ε A 351 A 352 F 3.12a F 3.12b Fig. 3.12a x y 0 h x 1 r 1 R Fig. 3.12b x y 0 h x 1 x 2 r 1 r 2 R 160197-095 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv