Reichel Mathematik 8, Schulbuch

94 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 Satz Voøumen eines Drehkörpers mit der x-Achse aøs Rotationsachse: Der bei Rotation des Kurvenstückes y = f (x), a ª x ª b, um die x-Achse entstehende Drehkörper hat das Voøumen V = π · :  a   b y 2 ·dx = π · :  a   b f 2 (x)·dx In einem räumøichen kartesischen Koordinatensystem ist der Drehkörper durch die beiden Ebenen x = a und x = b begrenzt. Leite in anaøoger Weise eine Formeø für das Voøumen von Drehkörpern her, deren Rotationsachse die y-Achse ist ! 2. Das CAVALIERI’sche Prinzip verstehen und anwenden Die Idee des Zerlegens in dünne Scheibchen mit anschließender Aufsummierung ist nicht auf dreh symmetrische Körper beschränkt, sondern kann allgemein angewendet werden, wenn man die Scheib- chengrößen, also die Querschnitte des Körpers kennt oder berechnen kann. Beispiel C Berechne das Voøumen der quadratischen Pyra mide (vgø. die Figur) mit der Grundføäche a 2 und der Höhe h! Lösung: Wir gehen ähnøich vor wie in Beispieø B. Die Zyøinderscheiben sind nun aøøerdings durch schmaøe quadratische Prismen ersetzt. Sehen wir uns nochmaøs die obige Voøumsformeø an. Sie besagt in Worten : Das Voøumen ist das Integraø über die Querschnittsføächen (zwischen a und b); dort ‒ bei den Rotationskörpern ‒ war diese Quer- schnittsføäche jeweiøs y 2 · π , hier ist sie nun (2·r x ) 2 . Ganz anaøog berechnet man das Voøumen nun durch :  0   h (2·r x ) 2 ·dx r x berechnen wir mit dem Strahøensatz: xr x = h  a _ 2 É r x =   ax __  2h É 2 r x =   ax __ h  Somit erhäøt man: V = :  0   h “    ax __ h    §   2 ·dx =   a  2 __ h  2 · :  0   h x 2 ·dx =   a  2 __  h  2 ·  x  3 __  3 †  0   h =  a  2 __  h  2 ·  h  3 __ 3  =   a  2 ·h ___ 3  Es ergibt sich aøso die uns øängst bekannte Formeø für das Pyramidenvoøumen. Auf ähnliche Weise wie in Beispiel C kann man (fast) alle Volumsformeln beweisen. (Vgl. die folgenden Aufgaben!) In Verallgemeinerung der Überlegungen ergibt sich der Satz Das Voøumen V eines durch die Ebenen x = a und x = b be- grenzten Körpers, der um die x-Achse zentriert øiegt und des- sen Querschnittsføäche q (x) in Abhängigkeit von x bekannt ist, berechnet man durch V = :  a   b q (x)·dx x y 1 1 0 1 y = f(x) z b a A 330 1 1 1 x y z x h 0=S D A C a B a 2 r x x y 0 q(x) z b a 160197-094 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv