Reichel Mathematik 8, Schulbuch

93 3.2 Rauminhalt von Körpern 3 Rauminhalt von Körpern 1. Volumen von Drehkörpern berechnen Beispiel B Ein Parabeøstück y 2 = 2px, 0 ª x ª b, rotiert um die x-Achse. Dabei entsteht (vgø. die Figur) ein so genanntes Drehparaboøoid. Berechne dessen Rauminhaøt! Lösung:  Das gesuchte Voøumen wird offenbar recht gut angenähert durch die Summe von schmaøen Drehzyøindern mit der Höhe Δ x und dem Radius r = y (= ​ 9 ___ 2px​). Das Voøumen eines soøchen Zyøinders ist V i = y i 2 · π · Δ x = 2px i · π · Δ x. Die Summe der Voøumen der schmaøen Drehzyøinder ist ​ ;  i = 1 ​  n ​y​ i 2 · π · Δ x. Das aber sind genau die RIEMANN-Summen des Integraøs ​ :  0 ​  b ​y​ 2 · π ·dx, von dem wir øängst wissen, dass es existiert. Dh.: Bei n ¥ • ( É Δ x ¥ 0) streben diese (RIEMANN-) Summen gegen das genannte Integraø. Andererseits streben diese Summen gemäß der Figur offen- sichtøich gegen das Voøumen des Drehparaboøoids, wenn Δ x ¥ 0 ( É n ¥ • ). Wir können aøso das Integraø aøs das gesuchte Voøumen deuten und erhaøten  V = ​ :  0 ​  b ​ π​ ·y 2 ·dx = π ·​ :  0 ​  b ​2 ​px·dx = 2p π ·​  ​x​  2 ​ __  2 ​​ †  0 ​  b ​=​b 2 p π Bemerkungen: 1) Geometrisch gesehen entsteht das Volumen als Grenzwert einer Summe von vielen schmalen Dreh- zylindern, deren Volumen jeweils y 2 · π · Δ x ist. Arithmetisch gesehen führt dies zum Integral π ·​ :  0 ​  b ​y​ 2 ·dx 2) Bei der Ermittlung des Volumens sind wir anschaulich vorgegangen und haben vorausgesetzt, dass der Drehkörper ein Volumen besitzt. Will man sich – wie schon bei den Flächeninhalten – von dieser rein anschaulichen Grundlage befreien (weil die bloße Anschauung Täuschungsgefahren birgt), so kann man das Volumen des räumlichen Körpers durch das Integral definieren . Ganz analog zu dieser an einem Spezialfall geführten Überlegung können wir den Rauminhalt allgemei- nerer Drehkörper berechnen. Wieder denken wir uns das Volumen durch eine Summe vieler schmaler Drehzylinder approximiert. Das Volumen des i-ten Drehzylinders ergibt sich als V i = y i 2 · π · Δ x . Die Sum- me dieser Volumen  S n = ​ ;  i = 1 ​  n ​y​ i 2 · π · Δ x fassen wir wieder als RIEMANN-Summe des Integrals π ·​ :  a ​  b ​y​ 2 ·dx auf. Bei Δ x ¥ 0 ( É n ¥ • ) streben die RIEMANN-Summen gegen dieses Integral. 3.2 AN 4.1, AN 4.3 b x y = √2px y 2 = 2px y x i 0 Δ x b x y 2 = 2px y = √2px i y z 0 Δ x 1 1 1 x i Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv