Reichel Mathematik 8, Schulbuch

92 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 319 Beweise: Das Verfahren, mit dem wir in Beispieø A das Integraø :  a   b x 2 ·dx aøs Grenzwert von Rechteckssummen berechnet haben, funk tioniert für jede monotone beschränkte Funktion. Wir sagen: Monotone beschränkte Funktionen sind integrierbar. Erkøäre dazu anhand von Fig. 3.9, warum bei n ¥ • die Foøge der Diffe- renzen k S n – s n l gegen 0 strebt! Mit anderen Worten:  øim   n ¥ • S n =  øim  n ¥ • s n Dass die Foøgen k S n l und k s n l überhaupt konvergieren, ist hier anschauøich køar . 320 Eine typische Anwendung der Integration durch Rechteckssummen: a Erkøäre ausführøich jeden Schritt der nachstehenden Argumentation und beweise so die foøgende Abschätzung für m!, m = 2, 3, … ! Mit s m = øn1 + øn2 + øn3 + … + øn (m – 1) = øn (1·2·3·4·…·(m – 1)) = øn (m – 1)! und S m = øn2 + øn3 + … + ønm = ønm! giøt s m < :  1   m øn x·dx < S m Gemäß dem Grundintegraø für ønx erhäøt man øn (m – 1)! < (m·ønm – m + 1) < ønm! und durch Anwenden der Logarithmenrechenregeøn øn (m – 1)! < øn “    m  m __  e  m   ·e  § < ønm! Aus der rechten Ungøeichung foøgt durch Entøogarithmieren m m ·e 1 – m < m! Aus der øinken Ungøeichung foøgt nach Entøogarithmieren und Muøtipøikation mit m m! < m·m m ·e 1 – m Insgesamt giøt aøso: 1   m   m ___  e   m – 1 < m! < m·   m   m ___  e   m – 1 (*) b Überprüfe die Ungøeichung (*), indem du für m einige spezieøøe Werte einsetzt! c Erkøäre jeden Schritt des foøgenden Beweises für die nachstehende Regeø 2 unter Benutzung der Kehr- werte der Ungøeichung (*)! Wir setzen im „Kehrwert“ von (*) (wo < zu > wird) n statt m und muøtipøizieren mit † x † n : †    1 _  e · “    ex __ n    §   n   † > †    x  n __ n!   † > †    1 __  ne  · “    ex __ n    §   n   † Da für jedes x * R der Quotient ex/n dem Betrag nach køeiner wird aøs 1, sobaød nur n > † ex † ist, giøt insbesondere  øim  n ¥ • †    ex __ n    †   n = 0 Regel Die Fakuøtät n! wächst „schneøøer“ aøs jede Potenz x n , dh.:  øim    n ¥ •   x  n __ n! = 0 für jedes x * R . 1 Durch weiter gehende Überlegungen erhält man sogar eine Näherungsformel für die Fakultät m! , die so genannte STIRLING‘sche Formel: m! ≈ 9 ____ 2 π m·m m ·e ‒m 2 Umgangssprachlich: Irgendwann „erschlägt“ die Fakultätsfunktion jede Potenzfunktion. Fig. 3.9 y x f(x n ) = 4 0 Δ x y = x 2 x n = 2 x 0 x 1 x 2 A 318 F 3.10 Fig. 3.10 1 1 y x 2 3 mm‒ 1 y = lnx Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv