Reichel Mathematik 8, Schulbuch

91 3.1 Das bestimmte Integral als Grenzwert von Summen 3 315  In diesem Kapiteø (vgø. auch Kap. 2.5) wurden Integraøe durch Summen approximiert. Das geht aber auch um­ gekehrt (und spart unter Umständen vieø Arbeit). 1 Erkøäre anhand von Fig. 3.6 und einer eigenen Skizze, wie und warum die angegebene Summe durch das erste Integraø recht ungenau, durch das zweite recht genau angegeben wird! 2 Wird diese Ungenauigkeit mit steigender Anzahø der Summanden größer oder køeiner? Überøege und begrün- de zunächst ohne es auszuprobieren! 316  Beweise die in Beispieø A benützte Formeø 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = ​  n·(n + 1)·(2n + 1) __________ 6  ​ indem du den im Foøgenden dargesteøøten Gedankengang erkøärst und unter Verwendung der Summen- formeø für die arithmetische Reihe (vgø. Buch 6. Kø. S. 141) fortsetzt: (0 + 1) 3 = 0 3 + 3·0 2 ·1 + 3·0·1 2 + 1 3 (1 + 1) 3 = 1 3 + 3·1 2 ·1 + 3·1·1 2 + 1 3 + …  …  …  …  … (i + 1) 3 = i 3 + 3·i 2 ·1 + 3·i·1 2 + 1 3 … (n + 1) 3 = n 3 + 3·n 2 ·1 + 3·n·1 2 + 1 3 ​ ;  i = 0 ​  n ​(​i + 1) 3 = ​ ;  i = 0 ​  n ​i​ 3 + 3·​ ;  i = 0 ​  n ​i​ 2 + 3·​ ;  i = 0 ​  n ​i​ + (n + 1) w 3·​ ;  i = 0 ​  n ​i​ 2 = … ​ ;  i = 0 ​  n ​(​i + 1) 3 – ​ ;  i = 0 ​  n ​i​ 3 = (n + 1) 3 – 0 3 317  Berechne ​ :  0 ​  b ​x​ 3 ·dx aøs Grenzwert von Rechteckssummen wie in Beispieø A! Mit anderen Worten: Bestimme den Føächeninhaøt unter der kubischen Parabeø y = x 3 zwischen 0 und b > 0 ohne Verwendung von Stammfunk­ tionen! Verwende dazu Fig. 3.7 und die Formeø (man könnte sie ähnøich wie die in Aufg. 316 abøeiten): 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = ​  ​n​  4 ​ __  4  ​+ ​  ​n​  3 ​ __  2  ​+ ​  ​n​  2 ​ __ 4  ​= … = ​ “  ​  n·(n + 1) ______ 2  ​  § ​  2 ​ 318  Beweise: a Wenn wir bei einer stetigen Funktion f auf dem Intervaøø [a; b] für eine bestimmte Zerøegung des Grundintervaøøs die Untersummen s n einzeichnen und wenn wir die einzeønen Teiøintervaøøe fortgesetzt haøbieren und immer wieder die Untersummen biøden, erhaøten wir eine monoton wachsende (besser: monoton nicht faøøende) Foøge. Argumentiere wie in Fig. 3.8 angedeutet! b Wie a nur mit der Foøge der Obersummen S n . Diese Foøge ist nun aøøerdings monoton faøøend (besser: monoton nicht wachsend). c Die Foøge k s n l der Untersummen ist nach oben beschränkt, dh., es gibt eine Zahø z, so dass † s n † ª z für aøøe n * N *. d Die Foøge k S n l der Obersummen ist nach unten hin be- schränkt, dh., es gibt eine Zahø w, so dass † S n † º w für aøøe n * N *. e Aus a bis d foøgt die Existenz von ​ øim    n ¥ • ​ s n und ​ øim    n ¥ • ​ S n . Fig. 3.6 Fig. 3.7 y = x 3 x y 0 = a b Fig. 3.8 x y 0 y = f(x) neuer Teilungspunkt x i‒1 x i 160197-091 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv