Reichel Mathematik 8, Schulbuch

90 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 3. Den Hauptsatz der Integralrechnung wissen Wir wissen nun: Wenn wir das Integral über Grenzwerte von RIEMANN-Summen definieren, können wir  ​ :  a ​  b ​f​(x)·dx als Flächeninhalt der Ordinatenmenge unter f zwischen a und b deuten. Das Integral  ​ :  a ​  x ​f​(t)·dt beschreibt also – bei fester Untergrenze a und variabler Ober- grenze x – eine Funktion A (x) , die wir gemäß Fig. 3.5 als Flächen- inhalt deuten können. Damit ist genau die Situation von Kap. 2.4 erreicht und wir schließen genau wie dort, dass die durch  A (x) = ​ :  a ​  x ​f​(t)·dt definierte Funktion A eine (ganz bestimmte) Stammfunktion von f ist. Ebenso folgt nun genau wie dort, dass  ​ :  a ​  b ​f​(x)·dx = F (b) – F (a) ist, wobei F eine beliebige Stammfunktion von f ist. Wir erhalten also das gleiche Ergebnis wie in Kap. 2.4 – nur haben wir uns von der rein anschaulichen Tatsache „befreit“, dass wir von vornherein die Existenz des Flächeninhaltes krummlinig begrenzter Flächen vorausgesetzt haben. In diesem Sinn liegt eine Vertiefung und Exaktifizierung unseres früheren Integralbegriffes (vgl. die Definition auf S. 60) vor. Überdies haben wir jetzt noch gesehen, dass jede (auf [ a ;  b ]) stetige Funktion eine Stammfunktion hat. Insgesamt ergibt sich der Satz Hauptsatz der Integraørechnung: Für jede auf [a; b] stetige Funktion f existiert das (bestimmte) Integraø ​ :  a ​  b ​ f ​ (x)·dx Sein Wert ist eine reeøøe Zahø und berechnet sich durch F (b) – F (a), wobei F eine beøiebige Stamm- funktion von f ist. Diese Zahø beschreibt den orientierten Føächeninhaøt der Ordinatenmenge zwischen a und b, das heißt, die oberhaøb der x-Achse øiegenden Teiøe der Ordinatenmenge haben einen positiven, die unterhaøb der x-Achse øiegenden Teiøe einen negativen Føächeninhaøt und das Integraø beschreibt die Summe dieser Føächeninhaøte. 4. Beziehung zwischen differenzierbaren, stetigen und integrierbaren Funktionen wissen Bisher haben wir das „Verfahren der Ober- und Untersummen“ nur auf (stückweise) stetige Funktionen angewendet. Wir könnten versuchen, es auch auf nicht stetige, aber beschränkte Funktionen f auf [ a ; b ] anzuwenden. Wir würden erkennen, dass dies bei gewissen – zB den monotonen – Funktionen funktio- niert, bei anderen nicht. Die Menge der (stückweise) stetigen Funktionen ist also nur eine echte Teil- menge in der Menge der integrierbaren Funktionen . Zusammenfassend können wir (vgl. Buch 7. Kl. S.84) die Funktionen durch nebenstehendes Teilmengendiagramm klassifizieren. AN 3.2 Fig. 3.5 a x y 0 x A(x) y = f(x) S  59 Differenzierbare Funktionen Stetige Funktionen Integrierbare Funktionen Funktionen 160197-090 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv