Reichel Mathematik 8, Schulbuch

9 1.1 Differenzengleichungen 1. Ordnung mit einer Variablen 1 Die Rekursionsgleichung (*) wäre stets vom Typ x n + 1 = a·x n + b; x 0 Eine derartige Gleichung heißt lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit dem Startwert (der An- fangsbedingung ) x 0 . Die Namensgebung erklärt sich aus der folgenden Umformung: x n + 1 – x n = (a – 1)·x n + b Man sieht: Die Differenz x n + 1 – x n = Δ x n , dh. die Zu- oder Abnahme vom n -ten zum ( n + 1 )-ten Tag, ist eine lineare Funktion von x n mit den Parametern a und b . In der so genannten allgemeinen linearen Differenzengleichung 1. Ordnung hängen aber auch die Parameter a und b von n ab; sie hat daher die Gestalt x n + 1 = a n ·x n + b n Gelingt es, aus der Rekursionsgleichung eine explizite Darstellung des n-ten Folgengliedes x n zu ermit- teln, so bezeichnet man diese Darstellung als die Lösung der Differenzengleichung . Oft ist man nicht (nur) an konkreten Werten x n für bestimmte Zeitpunkte (Zustände des Systems) inter- essiert, sondern am so genannten Langzeitverhalten des Systems (vgl. in Beispiel C d ). Man möchte eine Übersicht über das Gesamtverhalten des Prozesses. Dazu dienen vor allem graphische Darstellun- gen , wovon besonders zwei Arten interessant sind: Beispiel C (Fortsetzung) Steøøe den Verøauf dieses Prozesses graphisch in einem a (n, x n )-Koordinatensystem, b (x n , x n + 1 )-Koordinatensystem dar! Erøäutere! Lösung: a Darsteøøung im (n, x n )-Koordinatensystem: b Darsteøøung im (x n , x n + 1 )-Koordinatensystem: y = x n+1 x = x n 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 8 3 1 1 x 0 8 3 Für verschiedene n wird x n (vorteiøhaft aus der expøiziten Term-Darsteøøung in Beispieø C a oder mitteøs eines Computerprogramms ) be­ rechnet. Man erhäøt so zB x 7 = 2,45, x 10 = 2,59 usw. Wegen der besseren Übersicht werden die (bøau eingezeichneten) Punkte durch eine Kurve (bzw. einen Poøygonzug) verbunden. Man sieht: ​ øim   n ¥ • ​ x n = 8/3 Man zeichnet die Gerade g: y = 0,7x + 0,8. Senk- recht über x 0 findet man auf g x 1 , das man mit Hiøfe der 1. Mediane y = x auf die x-Achse über- trägt. Anaøog findet und überträgt man x 2 usw. Die so entstandene „Stufenøeiter“ erzeugt auf der x-Achse die Foøge k x n l (bøaue Punkte), und anaøog auf der y-Achse die Foøge k x n + 1 l . Der Grenz- wert ​ øim  n ¥ • ​ x n = 8/3 erscheint hier aøs Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden. Erkøäre! Bemerkung: Die Darstellung im ( x n , x n + 1 )-Koordinatensystem wird auch Spinnwebdiagramm (oder Cob- webdiagramm) genannt. In (der Fortsetzung von) Beispiel C haben wir gezeigt, wie man den „Grenzwert ​ _ x​ “ eines Prozesses so- wohl berechnen als auch graphisch ermitteln bzw. darstellen kann – vorausgesetzt, dass ein solcher Grenzwert überhaupt existiert. Dies hängt von den Koeffizienten der Differenzengleichung ab. Falls – wie hier – ein Grenzwert existiert, nennen wir ihn auch einen Fixpunkt . Erkøäre diese Namensgebung! 0 Nikotingehalt (mg) 5 1 10 n Zigaretten bzw. Stunden 1 x n x 1 x 2 x 3 x 4 8 3 A  19 160197-009 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv