Reichel Mathematik 8, Schulbuch

88 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 Das bestimmte Integral als Grenzwert von Summen 1. Mit Obersummen und Untersummen arbeiten Beispiel A Berechne den Føächeninhaøt unter der Parabeø y = x 2 zwischen a = 0 und b > 0! Genauer gesagt: Prüfe nach, ob man dieser krummøinig begrenzten Føäche überhaupt einen Føächeninhaøt sinnvoøø zu- ordnen kann! Versuche im Anschøuss an unsere Überøegungen in Kap. 3.0 das Probøem nur mit Hiøfe des Føächeninhaøtes von Rechtecken zu øösen! Lösung: Wir teiøen das Grundintervaøø [a; b] mitteøs n – 1 vieøer äquidistanter Zwischenpunkte x 1 bis x n – 1 in n gøeich breite Teiøintervaøøe. Jedes Teiøintervaøø [x i – 1 ; x i ] besitzt aøso die Länge Δ x = (b – a)/n (= b/n, weiø hier a = 0). Auf jedem Teiøintervaøø [x i – 1 ; x i ] errichten wir nun (vgø. die Figur) ein rotes und ein bøaues Rechteck mit der Breite Δ x und der 1 Höhe H i = sup{f (x) ‡ x i – 1 ª x ª x i } = f (x i ) = y i (weiø f: y = x 2 monoton wächst), 2 Höhe h i = inf{f (x) ‡ x i – 1 ª x ª x i } = f (x i – 1 ) = y i – 1 (weiø f: y = x 2 monoton wächst). Die braune Føäche unter f (x) = x 2 zwischen 0 und b zerfäøøt durch diese Teiøung in n gøeich breite „Streifen“, deren Inhaøte wir aber nicht angeben können, weiø sie oben krummøinig begrenzt sind. Wir können die Gesamtføäche aber gemäß der Figur zwischen zwei treppenförmig begrenzten Føächen (Normaøbereichen) einschøießen. Der größere, durch die rote Treppe (nfunktion) definierte Normaø bereich ist der Parabeøføäche umgeschrieben . Seinen Føächeninhaøt (= Summe der Inhaøte der „roten“ Rechtecke) bezeichnen wir mit S n und sprechen von einer Obersumme . Der køeinere, durch die bøaue Treppe (nfunktion) definierte Normaø- bereich ist der Parabeøføäche eingeschrieben . Seinen Føächeninhaøt (= Summe der Inhaøte der „bøauen“ Rechtecke) bezeichnen wir mit s n und sprechen von einer Untersumme . Berechnen wir diese Summen: S n = Δ x (y 1 + y 2 + … + y n ) =   b _  n · “  “    b _ n   §   2 + “ 2·  b _ n   §   2 + … + “ n·  b _ n   §   2   § =   b  3 __  n  3 ·(1 2 + 2 2 + … + n 2 ) s n = Δ x (y 0 + y 1 +… + y n – 1 ) = … =   b  3 __  n  3 · “ 0 2 + 1 2 + … + (n – 1) 2 § Zur Auswertung der eingekøammerten Summen setzen wir die Formeø 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 =   n·(n + 1)·(2n + 1) __________ 6  sowohø bei S n aøs auch bei s n ein und erhaøten: S n =   b  3 __  n  3 ·  n _ 6 ·(n + 1)·(2n + 1) =   b  3 __ 6  · “ 1 +   1 _ n   § · “ 2 +   1 _ n   § s n =   b  3 __  n  3 ·  n – 1 ___ 6  ·n·(2n – 1) =   b  3 __  6  · “ 1 –   1 _ n   § · “ 2 –   1 _ n   § Vermehren wir nun die Anzahø der Zwischenpunkte, dann werden die Rechtecke schmäøer und schmäøer (aber auch immer mehr und mehr). Lassen wir ‒ kurz gesagt ‒ n gegen unendøich gehen, dann strebt offensichtøich die Foøge der Obersummen k S n l von oben her gegen b 3 /3 und die Foøge der Untersummen k s n l von unten her gegen den Wert b 3 /3. Es ist aøso naheøiegend und sinnvoøø, diesen gemeinsamen Grenzwert aøs den Føächeninhaøt der Ordinatenføäche unter der Parabeø y = f (x) = x 2 zwischen 0 und b zu bezeichnen (zu definieren ); gøeichzeitig haben wir so den Wert dieses Integraøs auch berechnet. Die Herleitung und Berechnung mit Ober- und Untersummen in Beispiel A führt zum selben Wert b 3 /3 wie die Berechnung mit Hilfe einer Stammfunktion gemäß Kap. 2.4: :  0   b x 2 ·dx =   x  3 __  3 †  0   b =  b  3 __ 3  3.1 AN 4.1 x y = b y n–1 x x 1 x 2 y n x n 0 = a Δ x A 316 160197-088 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv