Reichel Mathematik 8, Schulbuch

3 87 3.0 Vorschau Viel wichtiger als die theoretische Präzisierung dieser Dinge, die wir ja schon aus Abschnitt 2 kennen, ist die Verallgemeinerung der Vorgangsweise und das Herausschälen der Grundidee , weil diese die Grundlage für viele weitere Anwendungen legt. So kann man zB analog zu oben krummflächig begrenz- te Körper wie Kugel, Kegel und Zylinder in (unendlich viele) „Scheibchen“ (mit elementar erklärbaren Volumen) zerschnitzeln und das Körper-Volumen als Grenzwert der Summe der „Scheibchen“-Volumen definieren und gleichzeitig berechnen . Diese Idee des „Zerlegens und Ausschöpfens“ kann zB zur Berechnung des Volumens von Kugel und Ke- gel herangezogen werden. In der Unterstufe hast du gelernt, dass das Volumen eines Drehkegels ein Drittel des Volumens des zugehörigen Drehzylinders ist. Einen Beweis dafür ist man dir damals wohl ebenso schuldig geblieben wie den für die Volumsformel der Kugel. Mit Mitteln der Integralrechnung lassen sich die Beweise nun ganz einfach (und mit der heute geforderten Strenge) führen . Allerdings waren die Formeln schon in der griechischen Antike hergeleitet worden – und zwar nicht (allein) durch „Ausschöpfen“ im praktischen Sinn (durch Umfüllen von Flüssigkeiten in Behälter bekannten Volu- mens), sondern durch „Ausschöpfen“ im theoretischen Sinn (also durch logische Überlegungen und Be- rechnungen). Diese Idee wurde 2000 Jahre später als CAVALIERI’sches Prinzip „wiedererfunden“ . Halten wir fest: Die fundamentale Idee ist die, zu einer Funktion gewisse Summen – so genannte RIEMANN-Summen – zu bilden und das bestimmte Integral als deren Grenzwert zur allgemeinen Definition wie auch zur Berechnung grundlegender mathematischer Begriffe heranzuziehen. Viele Anwendungen in der Technik, in den Naturwissenschaften, in der Wirtschaft und überall dort, wo ma- thematische Methoden überhaupt eine Rolle spielen, stützen sich auf diese fundamentale Idee. 312  In Fig. 3.1 wird angedeutet, wie die Føächenformeø des Dreiecks mitteøs Pføasterung mit Einheits­ quadraten näherungsweise berechnet werden kann. Weøchen Grenzübergang muss (kann) man heran­ ziehen, um den Føächeninhaøt exakt zu ermitteøn (und so zu definieren)? Wie kann man ohne Grenzwert­ überøegungen auskommen? (Denke daran, wie die Formeø in der Unterstufe abgeøeitet wurde!) 313  Die in Fig. 3.2 dargesteøøte krummøinig begrenzte symmetrische Figur ist ein Gegenbeispieø für die (faøsche!) Aussage, dass man zur Berechnung des Føächeninhaøtes einer krummøinig begrenzten Figur stets Grenzwertüberøegungen ansteøøen muss. 1 Begründe dies und berechne den Føächeninhaøt! 2 Erfinde und skizziere seøbst ein weiteres Gegenbeispieø! 314  Die in Fig. 3.3 dargesteøøten Rechtecke be- sitzen beide den Føächeninhaøt 6 cm 2 . Dennoch øässt sich der Føächeninhaøt im ersten Faøø anhand der „Einheitsquadrate“ eøementar erkøären, im anderen Faøø nur durch Føächenverwandøung bzw. Grenz­ prozesse. Erøäutere! A  326 S  94f K  3.2–3.6 Fig. 3.1 Fig. 3.2 Fig. 3.3 2 3 √12 √3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv