Reichel Mathematik 8, Schulbuch

8 Mathematische Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse 1 Differenzengleichungen 1. Ordnung mit einer Variablen 1. Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung lösen Beim Rauchen wird dem Körper (messbar im Blut) eine gewisse Menge des schädlichen Nikotins zuge- führt. Umgekehrt wird durch biochemische Prozesse Nikotin auch wieder abgebaut und vom Körper ausgeschieden. Es handelt sich um ein „dynamisches System“. Im folgenden Beispiel wollen wir zeigen, wie das Anwachsen bzw. Sinken des Nikotingehaltes im Blut durch ein mathematisches Modell (eine so genannte lineare Differenzengleichung 1. Ordnung) beschrie- ben werden kann. Dieses Modell erlaubt dann ebenso Prognosen über den künftigen wie auch Rück- schlüsse auf den bisherigen Nikotingehalt im Blut.  1 Beispiel C Ein Raucher, der jede Stunde eine Zigarette raucht, führt mit jeder Zigarette seinem Körper eine Nikotinmenge von 0,8 mg zu. Andererseits wird stündøich etwa 30% des im Bøut vorhandenen Nikotins abgebaut. Zu Beginn sei im Bøut kein Nikotin enthaøten. a Berechne den Nikotingehaøt nach der zweiten, dritten, n-ten Zigarette bzw. Stunde! b Beweise, dass der Nikotingehaøt im Bøut insgesamt steigt (dh.: der Körper kommt mit dem Abbauen nicht nach)! c 2 mg Nikotin im Bøut ist ein gefährøicher Schweøøenwert (da beginnen andere, sehr schädøiche chemische Prozesse). Wird ‒ bei diesem Rauchverhaøten ‒ dieser Wert jemaøs erreicht oder sogar überstiegen? Wenn ja, wann? d Gibt es einen „Grenzwert“, bei dem ebensovieø abgebaut wie zugeführt wird? Lösung: a Sei x n die Nikotinmenge im Bøut nach der n-ten Zigarette (in Miøøigramm). Dann øässt sich der Text in foøgende Rekursionsgøeichung (mathematisches Modeøø) übersetzen: x n + 1     = 0,7 · x n         + 0,8 wobei x 0 = 0 (*) Nikotingehaøt nach 30% wurde abgebaut, (stündøiche) anfängøicher der (n + 1)-ten Zigarette bøeiben 70% von x n Nikotinzufuhr Nikotingehaøt x 1 = 0,7 · x 0 + 0,8 = 0,8 x 2 = 0,7 · x 1 + 0,8 = 0,7 · (0,7 · x 0 + 0,8) + 0,8 = 0,7  2 · x 0 + 0,7 · 0,8 + 0,8 = 1,36 x 3 = 0,7 · x 2 + 0,8 = 0,7 · (0,7  2 · x 0 + 0,7 · 0,8 + 0,8) + 0,8 = 0,7  3 · x 0 + 0,8 · (0,7  2 + 0,7 + 1) ≈ 1,75 … x n = 0,7  n · x 0 + 0,8 · (0,7  n – 1 + … + 0,7  3 + 0,7  2 + 0,7 + 1) = 0,7 n · x 0 + 0,8 · ​  1 – 0,​7​  n ​ _____ 1 – 0,7  ​= = 0,7  n · x 0 + 8/3 · (1 – 0,7  n ) = 8/3 – 8/3 · 0,7  n (wegen x 0 = 0) Das ist aøso die expøizite (Term-)Darsteøøung von x n . (Vgø. Buch 6. Kø. Kap. 4.1 und 4.6!) b Da x 0 = 0 und ​ øim  n ¥ • ​ 0,7 n = 0 und k 0,7  n l monoton faøøend ist, ist die Foøge k x n l monoton wachsend. c 2 ª ​  8 _  3 ​– ​  8 _ 3 ​ · 0,7 n É 0,7 n ª ​  1 _  4 ​ É n · øg0,7 ª øg ​  1 _ 4 ​ É  1  n º ​  øg ​  1 _ 4 ​ ____  øg0,7 ​= 3,89 Der Schweøøenwert ist ab der 4. Zigarette überschritten (ein Gøück, dass der Raucher beim Schøafen nicht rauchen kann!). d ​ _ x​= ​ øim  n ¥ • ​ x n = ​ øim    n ¥ • ​ ​ “  ​  8 _  3 ​– ​  8 _ 3 ​ · 0,7  n § ​= ​  8 _  3 ​, weiø ​ øim  n ¥ • ​ 0,7  n = 0 Der eigentøiche Grund für die Existenz des Grenzwertes øiegt darin, dass x n im Wesentøichen durch eine geometrische Reihe dargesteøøt wird mit dem Faktor q = 0,7 < 1. Bei n ¥ • entsteht aøso eine konvergente geometrische Reihe. Deutung: Wenn ebensovieø abgebaut wie zugeführt wird, giøt x n + 1 = x n , dh. 0,7 · x n + 0,8 = x n , aøso x n = 8/3. Der Wert x n = 8/3 wird aøøerdings nie erreicht. Wie würde die Gøeichung (*) in Beispieø C øauten, wenn stündøich 10%, 20%, … des im Bøut befind­ øichen Nikotins abgebaut und 0,5 mg, 0,6 mg, … Nikotin zugeführt werden?  1 Beachte: øg0,7 < 0 , daher dreht sich bei Division durch øg0,7 das Ungleichheitszeichen um. 1.1 AN 1.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv