Reichel Mathematik 8, Schulbuch

62 Integralrechnung 2 Man erkennt: Liegt in den Wällen mehr Material als in den Gräben fehlt, so hat das Gelände nach seiner Planierung mit der Schubraupe eine positive „Meereshöhe“ . Liegt in den Wällen weniger Material als in den Gräben fehlt, so hat das Gelände nach seiner Planie- rung eine negative „Meereshöhe“ . Sind die Querschnitte der Wälle und Gräben gleich groß, so hat das Gelände nach seiner Planierung die „Meereshöhe“ 0 . Die resultierende „Meereshöhe“ erhält man, indem man den Materialüberschuss bzw. Materialmangel – also den Wert des bestimmten Integrals – auf die gesamte Geländebreite ( =  Intervalllänge b – a ) auf- teilt. Man kann diese „Meereshöhe“ daher mit Fug und Recht als durchschnittliche Geländehöhe bzw. als Mittelwert der Funktion(swerte) im Intervall [ a ; b ] ansehen. Definition Die Zahø ___ f (x)=   1 ___  b – a  · †  a   b f(x)·dx bezeichnet man aøs den kontinuierøichen Mitteøwert der Funktion f im Intervaøø [a; b]. Beispiel N Berechne den Mitteøwert ___ f (x)der Funktion f: y = sinx im Intervaøø a [0; π ], b [ π /2;2 π ] und veranschauøiche in einer Figur! Lösung: a ___ f (x)=   1 _  π · :  0   π sinx·dx =   1 _  π ·(‒cos x) †  0   π =   1 _  π ·(‒(‒1) – (‒1)) =   2 _ π ≈ 0,64 (Vgø. Bsp. M a !) b ___ f (x)=   1 ___  1,5 π · :  π /2   2 π sinx·dx =   1 ___  1,5 π ·(‒cos x) †  π /2   2 π =   1 ___  1,5 π ·(‒1 – 0) = ‒  1 ___  1,5 π ≈ ‒0,21 a b Der kontinuierliche Mittelwert ____ f (x) ist ganz analog zum diskreten Mittelwert _ x definiert, wie wir ihn spä- testens seit der 6. Klasse (vgl. die Definition des arithmetischen Mittels in Buch 6. Kl. S. 165) kennen. Der Faktor 1/(b – a) entspricht dem 1/n , das Integral der Summe x 1 bis x n . Der Unterschied ist, dass es sich im ersten Fall um die Summe von endlich vielen Werten x i handelt, im zweiten Fall um die „Sum- me“ von (nicht-abzählbar) unendlich vielen Werte f (x) . Erøäutere! Insofern steht das Integralzeichen :   , das laut S. 34 an ein großes „ S “ erinnern soll, nicht nur für das „ S “ im Wort „ S tammfunktion“, sondern ebenso (wenn nicht sogar mehr) für das „S“ im Wort „ S umme“. Die Idee, das Integral als kontinuier liche Summe zu deuten, wird sich im Abschnitt 3 als die zentrale Idee für die Exaktifizierung wie auch für viele Anwendungen der Integralrechnung herausstellen. Halten wir fest: Regel Bei der Berechnung des Føächeninhaøtes im gewohnten Sinn darf man nicht über Nuøøsteøøen „hin- weg integrieren“. Denn sonst øiefert das Integraø die Summe der orientierten Føächeninhaøte und unter Berücksichtigung der Intervaøøbreite den Mitteøwert der Funktion. F 2.14a F 2.14b F 2.14c 1 0 1 π y x 1 0 1 2 y x 2π π Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv