Reichel Mathematik 8, Schulbuch

61 2.4 Das Flächeninhaltsproblem – Bestimmte Integrale stetiger Funktionen 2 3. Funktionen integrieren, deren Graph (auch) unterhalb der x-Achse verläuft Beispiel M Berechne ​ : ​  ​s​inx·dx für a a = 0, b = π , b a = π , b = 2 π , c a = 0, b = 2 π ! Versuche anhand einer Figur eine geometrische Deutung der Ergebnisse! Lösung: ​ :  a ​  b ​s​inx·dx = ‒cos x​ †  a ​  b ​=​ a = ‒cos π – (‒cos 0) = ‒(‒1) – (‒1) = 2 b = ‒cos (2 π ) – (‒cos π ) = ‒1 – (‒(‒1)) = ‒2 c = ‒cos (2 π ) – (‒cos 0) = ‒1 – (‒1) = 0 Man sieht: Der Føächeninhaøt ist dort positiv (negativ), wo der Graph zur Gänze oberhaøb (unterhaøb) der x-Achse verøäuft. In c ist der Wert des Integraøs nuøø, weiø für die Summe der orientierten (dh. mit Vorzeichen versehenen) Føächeninhaøte gemäß a und b øaut Figur giøt: A = 2 + (‒2) = 0 Die Feststellung in Beispiel M b gilt für alle (stetigen) Funktionen, die zur Gänze unterhalb der x-Achse verlaufen! Du kannst diese Behauptung leicht einsehen, wenn du Seite 59 nochmals liest und nun an ei- ne Funktion denkst, deren Graph ganz unterhalb der x-Achse liegt. Die Funktionswerte f (x 0 ) , f (x) und f ( ξ ) sind dann alle negativ. Die Definition des bestimmten Integrals (vgl. S. 60) kann also für „negative“ Funktionen genauso gegeben werden wie für „positive“, sofern man „negative“ Flächeninhalte (als Maß- zahl für den Inhalt von unterhalb der x-Achse liegenden Flächenstücken) zulässt. Jedenfalls in dieser Hinsicht sind negative Flächeninhalte höchst sinnvoll (vgl. dazu aber auch Aufg. 231)! Will man daher den Flächeninhalt im bisher gewohnten Sinn einer nicht-negativen Maßzahl für die „Größe“ eines Flächenstückes berechnen, so muss man (durch Ermittlung der Nullstellen) feststellen, wo der Graph von f oberhalb und wo er unterhalb der x-Achse verläuft, die zugehörigen Flächeninhalte getrennt berechnen und ihre Beträge addieren. Wenn also in Beispiel M c nach dem Flächeninhalt (in gewohntem Sinn) der Ordinatenmenge von f (x) = sin x im Intervall [0; 2 π ] gefragt wäre, müsste man zunächst von 0 bis π , dann von π bis 2 π inte­ grieren und die Beträge der Ergebnisse addieren: † +2 † + † ‒2 † = 4 . Integriert man über die Nullstelle π hinweg, so erhält man 0 , was das Ergebnis von (+2) + (‒2) ist. Offenbar liefert das bestimmte Integral die Summe aus dem positiven und dem negativen Flächeninhalt. Und dies gilt, wie wir uns gleich anschaulich überlegen wollen, ganz allgemein für jede beliebige stetige Funktion f über dem Intervall [ a ;  b ]: Der Wert des bestimmten Integrals lässt sich als die Summe der positiven und negativen Flächeninhalte deuten. Man kann also die oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse ( =  fiktive „Meereshöhe“ 0 ) liegenden Teile des Graphen als Querschnitte von Wällen bzw. Gräben ansehen. Überøege an der Figur, wann beim Pøanie- ren des Geøändes mit einer Schubraupe Materiaø überbøeibt oder fehøt! AN 3.2 1 0 –2 1 +2 y x 160197-061 Fig. 2.14a Fig. 2.14b Fig. 2.14c => => => Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv