Reichel Mathematik 8, Schulbuch

60 Integralrechnung 2 Definition Der Wert F (b) – F (a) wird aøs das bestimmte Integraø der Funktion f = F’ mit der Obergrenze b und der Untergrenze a (kurz: „Integraø von f von a bis b“ bzw. „Integraø von f zwischen a und b“) be zeichnet. Man schreibt: :  a   b f (x)·dx = F (x) †  a   b =F (b) – F (a) Bemerkungen: 1) Die Adaption der Schreibweise :   f(x)·dx für das unbestimmte Integral zu :  a   b f(x)·dx = F (x) †  a   b = F (b) – F (a) für das bestimmte Integral ist sinnvoll, da man für dessen Berechung eine Stammfunktion F von f benötigt, wobei es gleich ist, welche Stammfunktion man verwendet. Wie man solche Stammfunktionen berechnet, haben wir in den vorangegangenen Kapiteln gelernt. 2) Halte die folgenden zwei Begriffe gut auseinander: Das unbestimmte Integral :   f(x)·dx ist die Menge aller Stammfunktionen F von f , während das bestimmte Integral :  a   b f(x)·dx eine ganz bestimmte (von f , a und b abhängige) reelle Zahl ist, die man – bei positivem, stetigem f – als Flächeninhalt der Ordinatenmenge unter f zwischen a und b deuten kann! Beispiel K Berechne den Føächeninhaøt unter der Parabeø a y = x 2 zwischen 0 und 1, b y = 9 _  xzwischen 1 und 4! Kurz: Berechne das bestimmte Integraø a :  0   1 x 2 ·dx, b :  1   4 9 _  x·dx! Lösung: a b A = :  0   1 x 2 ·dx =   x  3 __  3 †  0   1 =  1 _  3 –   0 _  3 =   1 _ 3 A = :  1   4 9 _  x·dx =   2 _  3 · 9 __ x  3 †  1   4 =  2 _ 3  ·( 9 __ 64– 9 _ 1) =   14 __ 3  Beispiel L Berechne a :  1   3 9 ____ 2 x + 1·dx, b :  0   1 x·e x ·dx Lösung: a Wir substituieren z = 2 x + 1; dz = 2·dx. Dabei ändern sich auch die Grenzen! Obere Grenze: x = 3 w z = 2·3 + 1 = 7 Untere Grenze: x = 1 w z = 2·1 + 1 = 3 :  1   3 9 ____ 2 x + 1·dx = :  3   7   1 _  2 · 9 _  z·dz =   1 _  2 ·  2 _  3 · 9 __ z  3 †  3   7 =   1 _  3 ·( 9 __ 343– 9 __ 27) ≈ 6,17 – 1,73 = 4,44 b Partieøøe Integration øiefert: :  0   1 x·e x ·dx = x·e x †  0   1 – :  0   1 1·e x ·dx = (x·e x – e x ) †  0   1 = (1·e – e) – (0·1 – 1) = 1 S 34 F 2.13 Fig. 2.13 1 0 1 x y y = x 2 4 1 0 1 x y y = √x 160197-060 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv