Reichel Mathematik 8, Schulbuch

6 Mathematische Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse 1 Das mathematische Modell idealisiert (wie jedes Modell) die Wirklichkeit. Es müssen daher stets auch die Grenzen und Einschränkungen solcher Modelle beachtet werden. Insbesondere müssen die meisten quantitativen Vorhersagen und Aussagen sinnvoll gerundet werden. Aussagen über eine Anzahl a von Personen der Art a = 3,004 oder a = 123456789000 sind ja nicht sinnvoll. Begründe! Man kann dynamische Systeme und Prozesse durch Funktionen, Formeln, (Un-)Gleichungen und Syste- me von Gleichungen beschreiben. (Mehrere Gleichungen braucht man, wenn mehrere Variable invol- viert sind!) Darin liegt eine sehr wesentliche Aufgabe der Mathematik als Anwendungsfeld in fast allen Gebieten der Wissenschaft und Praxis. In den folgenden Kapiteln werden wir uns derartigen Aufgaben zuwenden und zeigen, wie sehr Mathematik bei allen möglichen Problemen des täglichen Lebens An- wendung finden kann. Zuerst werden wir vor allem dynamische Prozesse behandeln, wo nur eine Vari- able involviert ist (Differenzengleichungen mit einer Variablen ), dann aber auch Systeme mit zwei Variablen (Differenzengleichungen mit zwei Variablen ) besprechen. Interessanterweise braucht man dafür nicht allzu viel an „technischem“ Vorwissen. In den Folgekapiteln werden es vor allem die rekur- sive Beschreibung von Folgen, ihr Grenzwert und die Summenformel für die endliche geometrische Rei- he sein. Alles Dinge, die du in der 6. Klasse (vgl. Buch 6. Kl. Kap. 4) ausführlich gelernt hast. 1  Erkøäre, weøche Prozesse mit den a in Fig. 1.2, b in Fig. 1.3 dargesteøøten „Ursache-Wirkungs- Diagrammen“ gemeint sind! Kann sich dabei ein Gøeichgewicht einsteøøen? e s Bevölkerung Geburten Tote + ‒ + + Fig. 1.2 2  Ein Heizkörperthermostat regeøt die Temperatur eines Raumes so, dass bei zu niedriger Temperatur ein Ventiø geöffnet wird, wodurch mehr warmes Wasser durch den Heizkörper føießt. Dadurch wird der Raum wärmer, das Ventiø schøießt, es føießt kein Wasser durch den Heizkörper, der Raum wird käøter. Daher … Steøøe diese Beziehung in einem Ursache-Wirkungs-Diagramm dar! 3  Atmung und Kohøendioxidgehaøt im Bøut eines Menschen hängen in foøgender Weise zusammen: Je mehr geatmet wird, desto geringer wird der Kohøendioxidgehaøt werden. Je größer der Kohøendioxidgehaøt im Bøut ist, desto stärker wird die Atmung angeregt. Steøøe diese Beziehung in einem Ursache-Wirkungs- Diagramm dar! Ergibt sich ein Gøeichgewicht? 4  Fig. 1.4 steøøt den Zusammenhang beim Wettrüsten dar. Erkøäre diesen in Worten und ergänze die Vor­ zeichen! Um weøche Art von Rückkoppøung handeøt es sich dabei? Ergänze das Symboø! Versuche eine Lösung 2. Art im Sinne WatzLawicks zu finden! 5  Hinter der Modeøøierung von Beispieø A steht die (nicht sehr reaøistische) Annahme, dass die Zahø der erbeuteten Beutetiere sich hauptsächøich auf die Anzahø der nachkommenden Räuber auswirkt. Eine andere Modeøøierung könnte etwa darin bestehen, dass man die Sterberate der Räuber von der Zahø der Beutetiere (pro Räuber) abhängig macht. Steøøe dies in einem Føussdiagramm dar! 6  Der Zinssatz, den man für ein der Bank übergebenes Kapitaø erhäøt, hängt auch von der Höhe des Kapitaøs ab. Wer einer Bank eine hohe Kapitaøanøage anbietet, kann einen höheren Zinssatz verøangen, aøs er übøicherweise gewährt wird. Durch die Zinsen erhöht sich das Kapitaø, dies bringt wiederum einen höheren Zinssatz usw. Steøøe diesen Zusammenhang in einem a Ursache-Wirkungs-Diagramm, b Føuss- diagramm dar! Steøøt sich unter diesen Annahmen ein Gøeichgewicht ein? Diskutiere dieses Modeøø! K  1.1 K  1.2 Fig. 1.3 ‒ + + + s Geschwindigkeit Erdbeschleunigung Luftwiderstand Beschleunigung Fig. 1.4 Aufrüstung A Aufrüstung B B fühlt sich bedroht. A fühlt sich bedroht. + + + + A  8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv