Reichel Mathematik 8, Schulbuch

59 2.4 Das Flächeninhaltsproblem – Bestimmte Integrale stetiger Funktionen 2 1. Schritt: Betrachten wir zuerst den in Fig. 2.12a dargestellten Fall. Wenn wir x variieren, ändert sich auch der Inhalt A des schraffierten Flächenstückes in Abhängigkeit von x . A ist eine Funktion von x ; wir schreiben A = F (x) . Diese Funktion F – die so genannte Flächenin- haltsfunktion – wollen wir näher untersuchen. 2. Schritt: Gehen wir von x 0 um ein kleines Stück Δ x weiter nach rechts, so berechnet sich der Flächeninhalt des hinzugekommenen (hellbraun eingezeichneten) kleinen Streifens durch F (x 0 + Δ x) – F (x 0 ) . Erkøäre anhand von Fig. 2.12b! 3. Schritt: Der hinzugekommene Streifen ist im Allgemeinen kein Rechteck (weil der Graph von f nicht waagrecht sein muss). Hingegen ist – Erøäutere anhand von Fig. 2.12c! – anschaulich klar (und wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f auch beweisbar), dass eine „Zwi- schenstelle ξ “  1 in [x 0 ; x 0 + Δ x] existiert, sodass das Rechteck mit den Seiten Δ x und f ( ξ ) flächengleich dem hellbraunen Streifen ist. Somit gilt: F (x 0 + Δ x) – F (x 0 ) = f ( ξ )· Δ x Anders geschrieben: ​  F (​x​  0 ​+ Δ x) – F (​x​  0 ​) __________  Δ x ​= f ( ξ ) 4. Schritt: Nun bilden wir den Grenzwert für Δ x ¥ 0 und erhalten (wegen der Stetigkeit von f ):   ​øim  Δ x ¥ 0 ​​  F (​x​  0 ​+ Δ x) – F (​x​  0 ​) __________  Δ x  ​= ​øim  Δ x ¥ 0 ​f ( ξ ) = f (x 0 ) Wenn du nun an die Definition der Ableitung einer Funktion denkst, erkennst du, dass der erste Grenzwert nichts anderes ist als die 1. Ab- leitung F ’ von F an der Stelle x 0 . Mit anderen Worten: Die Funktion F ist eine Stammfunktion der gegebenen Funktion f . 5. Schritt: Um den Flächeninhalt unter der Funktion f zwischen a und b zu berechnen, brauchen wir nur noch die Differenz F (b) – F (a) zu bilden. Erkøäre anhand von Fig. 2.12d! Bemerkung: Dass wir in Fig. 2.12d die Funktion f von x = 0 weg nach rechts hin betrachten, spielt keine Rolle. Als linke Grenze der dunkel- braunen Flächenstücke könnten wir jeden anderen x -Wert verwenden – sofern dieser Wert links von a und b liegt. Begründe! 6. Schritt: Ziel der Überlegungen war es, den Flächeninhalt A der Ordinatenmenge unter der Funktion f zwischen a und b zu berechnen. Wir haben diesen Wert A als F (b) – F (a) erkannt, wobei F eine Stamm- funktion von f ist. Stammfunktionen sind aber nicht eindeutig bestimmt. Wir wissen jedoch, dass sich jede andere Stammfunktion ​ _ F​ von F nur durch eine additive Konstante unterscheidet: ​ _ F​(x) = F (x) + c , c * R . Wenn wir diese andere Stammfunktion ​ __ F​ zur Berechnung des Flächeninhaltes A verwendet hät- ten, ergäbe sich wegen   ​ _ F​(b) – ​ _ F​(a) = (F (b) + c) – (F (a) + c) = F (b) + c – F (a) – c = F (b) – F (a) kein Unterschied zu vorhin. Es ist also egal, welche Stammfunktion wir verwenden! Satz Um den Føächeninhaøt A unter der stetigen, positiven Funktion f über dem Intervaøø [a; b] zu berech- nen, musst du irgendeine Stammfunktion F von f finden und den Wert F (b) – F (a) = A biøden.  1 Sprich xi (vgl. das griechische Alphabet im Anhang) Fig. 2.12a x y 0 y = f(x) A = F (x) x Fig. 2.12b x y 0 y = f(x) + Δ x x 0 x 0 Fig. 2.12c x y 0 y = f(x) + Δ x x 0 x 0 f( ξ ) ξ Fig. 2.12d x y 0 y = f(x) a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv