Reichel Mathematik 8, Schulbuch

58 Integralrechnung 2 Das Flächeninhaltsproblem – Bestimmte Integrale stetiger Funktionen 1. Die fundamentale Idee hinter dem Begriff bestimmtes Integral verstehen Nun sind wir technisch so weit gerüstet das in der Vorschau angesprochene Flächeninhaltsproblem (in seinem Zusammenhang mit dem Differenzieren) anzugehen. Betrachten wir dazu das Protokoll einer Uro- flowmetrie aus der urologischen Diagnostik. Es zeigt die (mit einem speziellen Gerät gemesse- ne) Geschwindigkeit v (t) des Harnflusses als Graphen ( = Uroflowkurve) samt einigen wich- tigen Parametern . Erøäutere! Der Harn kann aufgefangen und das Gesamtvolumen so zum Schluss leicht gemessen werden, nicht so leicht aber das bis zum Zeitpunkt t ausgeschie- dene Volumen V (t) . Dieses kann jedoch aus der Kurve v (t) berechnet werden! Aber wie? Genau betrachtet ist die Kurve v (t) aus technischen Gründen eine Treppenkurve, die von sehr vielen schmalen Rechteckstreifen mit der Breite Δ t und der Höhe v (t ) „gestützt“ wird. Der zu einem t 0 gehöri- ge Streifen gibt mit seinem Flächeninhalt die im Zeitraum Δ t ausgeschiedene Harnmenge V (t 0 ) an. Be- trachtet man alle solchen Streifchen im Zeitraum t 1 bis t 2 , so gibt ihre Summe einerseits die im Zeit- raum t 1 bis t 2 ausgeschiedene Harnmenge V (t 2 ) – V (t 1 ) an, andererseits den zugehörigen Flächeninhalt unter der Uroflowkurve v (t) , und zwar offenbar umso besser, je kleiner Δ t ist. Somit kann V(t) als Flä- cheninhalt unter v (t ) berechnet werden, und zwar umso genauer, je kleiner Δ t ist. Auch in vielen anderen Anwendungen ist es sinnvoll, den Flächeninhalt F unter (dem Graphen) der Funktion f (möglichst genau) zu ermitteln. Die Verwendung von Rechtecksstreifchen weist als funda- mentale Idee den Weg, wobei im Allgemeinen Grenzwertüberlegungen für Δ t ¥  0 nötig sind. Zwecks Vereinfachung zeigen wir die Vorgangsweise zunächst an zwei Grund-Typen von Funktionen: 2. Funktionen integrieren, deren Graph nicht unterhalb der x-Achse verläuft Grundproblem: Es sei f: y = f (x) eine stetige Funktion, von der wir vorerst voraussetzen, dass ihr Graph (auf [ a ;  b ]) nicht unterhalb der x-Achse liegt, also eine positive bzw. nicht-negative Funktion vorliegt . Gesucht ist der Flächeninhalt des Normalbereichs unter f zwischen den Stützstellen a und b , also der Flächeninhalt der so genannten Ordinatenmenge {(x 1 y) ‡ a ª x ª b, 0 ª y ª f (x)} der Funktion. Für ein­ fache Funktionen y = f (x) kannst du das Problem sofort lösen. Erkøäre ! Fig. 2.11 x y 1 0 1 y = m m a x A= F(x) =m . (x – a) = =m . x –m . a x y 1 0 1 y =0,5x + 1 x A= F(x) = (1,5+ (0,5x + 1)) . (x – 1) = 1 2 =0,25x 2 + x – 1,25 x y 1 0 1 y = f(x) a x A= F(x) = ? Du siehst: Wenn die „rechte Grenze“ – hier mit x bezeichnet – variiert, ist der braun unterlegte Flä- cheninhalt eine Funktion F dieser Variablen x . Diese Funktion F heißt die Flächeninhaltsfunktion der gegebenen Funktion f (bei fester linker Grenze a ). Wir ermitteln sie wie folgt: 2.4 AN 4.1 Fig. 2.10 SEC ML/S 10 20 30 0 10 20 30 t 0 F  2.10 AN 3.2 F  2.11 F  2.11 VOLUMEN: 352 ML MAX. FLOW: 24 ML/S MITTL. FLOW: 12 ML/S MIKTIONSZEIT: 29 S FLOWZEIT: 29 S ANSTIEGSZEIT: 7 S ANSTIEG: 3 ML/S 2 UROFL. INDEX: 1.10 DIAGNOSE: …………………… ………………………………… ………………………………… Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv