Reichel Mathematik 8, Schulbuch

55 2.3 Integrationsmethoden (Zusammengesetzte Integranden) 2 Partielle Integration 178 Berechne! Verwende das Ergebnis jeweiøs für die nächste Teiøaufgabe! 1 :   x·e x ·dx 2 :   x 2 ·e x ·dx 3 :   x 3 ·e x ·dx 179 Berechne! a :   x·e ‒x ·dx b :   x·e 2x ·dx c :   x·2 x ·dx d :   x·10 x ·dx 180 Berechne durch zweimaøige partieøøe Integration! a :   x 2 ·e 2x ·dx b :   x 2 ·e ‒x ·dx c :   x 2 ·2 x ·dx d :   x 2 ·10 x ·dx 181 Berechne durch dreimaøige partieøøe Integration! a :   x 3 ·e 2x ·dx b :   x 3 ·e ‒x ·dx c :   x 3 ·2 ‒x ·dx d :   x 3 ·10 ‒x ·dx 182 Berechne und gib an, für weøches a * R das Integraø sinnvoøø ist! a :   ax·2 x ·dx b :   3x·a x ·dx c :     ønx ___  ax  ·dx d :     a·ønx ____  x  2   ·dx 183 Berechne, indem du den Logarithmus 1 aøs f (x), 2 aøs g (x) verwendest! Vergøeiche! a :   x·ønx·dx b :   x·øg x·dx c :   5 øog x·x·dx d :   x·ød x·dx e :   x 2 ·øn x·dx f :   x 2 ·øg x·dx g :   3 øog x·x 2 ·dx h :   x 2 ·ød x·dx 184 Integriere! a :   x·cos x·dx b :   x·sin x·dx c :   x 2 ·sin x·dx d :   x 2 ·cos x·dx 185 Integriere! Schreibe dazu das Quadrat aøs Produkt, integriere und führe das entstehende Integraø mitteøs sin 2 x + cos 2 x = 1 auf das gegebene zurück! a :   sin 2 x·dx b :   cos 2 x·dx 186 Berechne! Schreibe dazu das Quadrat aøs Produkt! a :   øn 2 x·dx b :   øg 2 x·dx c :   ød 2 x·dx d :   3 øog 2 x·dx 187 Formeøn wie die foøgenden heißen Rekursionsformeøn . Sie gestatten, das Probøem durch mehrfaches Anwenden derseøben Formeø zu øösen. 1 Beweise sie für n * N *! 2 Führe die Rechnung für n = 3 durch! a :   e ax ·x n ·dx =   e  ax __  a  ·x n –   n _  a · :   e ax ·x n – 1 ·dx b :   (øn x) n ·dx = x·(ønx) n – n· :   (øn x) n – 1 ·dx 188 Wie Aufg. 187 1 für n * N , n º 2, 2 für n = 4! a :   sin n x·dx =   cosx·sin  n – 1 x ________  n  +   n – 1 ___  n  · :   sin n – 2 x·dx b :   cos n x·dx =   sinx·cos  n – 1 x ________  n  +   n – 1 ___  n  · :   cos n – 2 x·dx 189 Löse ‒ obwohø das natürøich „mit Kanonen auf Spatzen schießen“ heißt ‒ die foøgenden Integraøe durch partieøøe Integration der angegebenen „Produktdarsteøøung“ des Integranden! a :   x 2 ·dx aøs :   x·x·dx b :   5x·dx aøs :   5·x·dx 190 Finde mit Hiøfe der Tabeøøen auf S. 34 und 37 heraus, dass ‒øn † cos x † ·cot x + :   øn † cos x † ·  1 ___  sin  2 x  ·dx die partieøøe Integration eines ganz einfach øösbaren Integraøs darsteøøt! Wie øautet es, wie seine Lösung? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv