Reichel Mathematik 8, Schulbuch

54 Integralrechnung 2 165 Kannst du in Aufg. 164 ein Biødungsprinzip erkennen? Formuøiere seøbst mindestens zwei anaøoge Auf gaben! Formuøiere das Biødungsprinzip aøøgemein ähnøich wie in Auf. 159! 166 Berechne :   sin2 x·dx und kontroøøiere durch Differenzieren! Setze dazu 1 z = 2 x, 2 sin2 x = 2·sin x·cos x und z = sinx! Begründe, warum trotz scheinbar verschiedenem Resuøtat in beiden Fäøøen øetztøich das Gøeiche herauskommt! 167 Integriere! a :   cos (3 x)·dx b :   sin   x _ 2  ·dx c :   tan “  2 x –   π _ 3   § ·dx d :   cot   x – π ___  4  ·dx 168 Integriere! a :   x·cos (3 x 2 )·dx b :   2x 2 ·sin (x 3 )·dx c :   x·tan (x 2 )·dx d :   x 2 ·cot (x 3 )·dx 169 Kannst du in Aufg. 168 ein Biødungsprinzip erkennen? Formuøiere seøbst mindestens zwei anaøoge Auf gaben! Formuøiere das Biødungsprinzip aøøgemein ähnøich wie in Auf. 159! 170 Integriere! a :   sin 2 x·cos x·dx b :   cos 2 x·sin x·dx c :   sin 3 x·cos x·dx d :   cos 3 x·sin x·dx 171 Kannst du in Aufg. 170 ein Biødungsprinzip erkennen? Formuøiere seøbst mindestens zwei anaøoge Auf gaben! Formuøiere das Biødungsprinzip aøøgemein ähnøich wie in Auf. 159! 172 Begründe die foøgende Regeø und erøäutere sie an zwei Beispieøen! Regel :   (f (x)) n ·f’ (x)·dx =   1 ___  n + 1  ·(f (x)) n + 1 ( + c) n * Q \{‒1} 173 Erøäutere den Zusammenhang von Aufg. 172 mit den Aufg. 159, 165, 169 und 171! 174 Begründe die foøgende Regeø und erøäutere sie an zwei Beispieøen! Regel :     f’ (x) ___  f (x) ·dx = øn † f (x) † (+ c) 175 Leite mit Hiøfe der Formeø in Aufg. 174 die auf S. 34 angegebenen Grundintegraøe von a tan x, b cot x her! Denke dabei an die Definition der Funktion aøs Quotient von sinx und cos x! 176 Erkøäre anhand der Figur wie man zu drei verschiedenen Er- gebnissen kommt, obwohø doch offenbar immer die gøeiche Substitution z = … ‒ Weøche genau? ‒ angewendet wird. 177 Überøege, ob und warum (nicht) das gegebene Integraø :   9 ___ x  2 – 1·dx gemäß der Substitution x = sinz wegen :   9 _____ ‒(1 – x  2 )·dx = 9 __ ‒1· :   9 _____ 1 – sin  2 z·cos z ·dz = i· :   cos 2 z·dz nur eine kompøexe Lösung hat! Die Funktion y = cos 2 z (siehe Aufg. 185) besitzt ja aøs stetige (nicht-negative) Funktion in ganz R jedenfaøøs eine reeøøe Stammfunktion und der Faktor i ist die imaginäre Einheit. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv