Reichel Mathematik 8, Schulbuch

52 Integralrechnung 2 Beispiel J Berechne: :     3x  2 + 7x – 1 _______ x  3 + 3x  2 – 4 ·dx Lösung: Hier entfäøøt Punkt 0 , weiø der Grad des Zähøerpoøynoms køeiner ist aøs der Grad des Nen- nerpoøynoms. 1 Zerfäøøen des Nennerpoøynoms: Wir untersuchen die Teiøer des absoøuten Gøiedes und finden aøs eine Lösung x 1 = 1. Durch Abspaøten dieser Lösung finden wir die beiden anderen Lösungen, die hier eine Doppeøøösung biøden: (x 3 + 3 x 2 – 4)(x – 1) = x 2 + 4 x + 4 w x 2 = x 3 = ‒2 Insgesamt: x 3 + 3 x 2 – 4 = (x – 1)·(x + 2) 2 2 Partiaøbruchzerøegung:   3x  2 + 7x – 1 _______  x  3 + 3 x  2 – 4 =   A ___  x – 1  +   B ___  x + 2  +   C _____  (x + 2)  2 † ·(x – 1)·(x + 2) 2 3 x 2 + 7x – 1 = A·(x + 2) 2 + B·(x – 1)·(x + 2) + C·(x – 1) x = 1: 3 + 7 – 1 = A·9 w A = 1 x = ‒2: 12 – 14 – 1 = C·(‒3) w C = 1 x = 0: 1 ‒1 = 4A – 2B – C w B = 2   3 x  2 + 7x – 1 _______  x  3 + 3 x  2 – 4 =   1 ___  x – 1 +   2 ___  x + 2 +   1 _____  (x + 2)  2 3 Integration: :     3 x  2 + 7x – 1 _______  x  3 + 3 x  2 – 4 ·dx = :     dx ___  x – 1  + 2· :     dx ___  x + 2  + :     dx _____  (x + 2)  2 = øn † x – 1 † + 2·øn † x + 2 † –   1 ___  x + 2 + c Bemerkung: Leider sieht man es einem Integral nur mit viel Erfahrung an, ob – und wenn ja, mit wel- cher Integrationsmethode – es berechnet werden kann. An den folgenden Aufgaben kannst du ein we- nig der nötigen Erfahrung sammeln. Substitutionsmethode 149 Berechne 1 mit, 2 ohne Substitution! a :   (4 x – 2) 2 ·dx b :   (3 x + 2) 2 ·dx c :   (1 + 2 x) 3 ·dx d :   (3 x – 1) 3 ·dx 150 Wie Aufg. 149. a :   2x·(3x 2 – 1) 2 ·dx b :   5x·(1 – x 2 ) 2 ·dx c :   x 2 ·(2 – x 3 ) 2 ·dx d :   x 2 ·(2 x 3 – 5) 2 ·dx 151 Berechne und begründe, warum die Substitution z = ax + b (a, b * R ) hier zum Zieø führt! Kontroøøiere durch Differenzieren! a 1 :     1 ____  4x – 3  ·dx 2 :     5 ____  3 – 2x  ·dx 3 :     k ____  ax + b  ·dx b 1 :   (3 x – 4) ‒1 ·dx 2 :   5·(2 x + 3) ‒1 ·dx 3 :   k·(ax – b) ‒1 ·dx 152 Wie Aufg. 151. a 1 :     1 _____  (3x – 2)  2   ·dx 2 :     4 _____  (3 – x)  2   ·dx 3 :     k _____  (ax + b)  2   ·dx b 1 :   (4 x – 1) ‒3 ·dx 2 :   4·(3 – 2 x) ‒3 ·dx 3 :   k·(ax + b) ‒3 ·dx 153 Wie Aufg. 151. a 1 :   9 ____ 3 x + 4·dx 2 :   6· 9 ____ 1 – 2 x·dx 3 :   k· 9 ____ ax + b·dx b 1 :     1 _____  3 9 ____ ‒x + 2 ·dx 2 :     8 _____  3 9 ____ 2 – 3x ·dx 3 :     k _____  3 9 ____ ax + b ·dx 1 Da die (rechnerisch sehr günstigen) Nullstellen 1 und ‒2 schon „verbraucht“ sind, verwenden wir irgendeinen weiteren (möglichst „günstigen“) Wert, zB eben 0 . Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv