Reichel Mathematik 8, Schulbuch

51 2.3 Integrationsmethoden (Zusammengesetzte Integranden) 2 2) Das eben besprochene Verfahren heißt Partialbruchzerlegung, weil man den gegebenen Bruch in „Teilbrüche“ (Partialbrüche) zerlegt. Die Zähler der Brüche sind dabei gewisse (zunächst unbekann- te) Konstanten, die Nenner sind die zu den Nullstellen des Nenners gehörigen Linearfaktoren. Dieser Ansatz passt jedoch nur für den Fall, dass lauter reelle Nullstellen der Vielfachheit 1 auftreten. 3) Tritt eine Nullstelle, zB x 1 , mit der Vielfachheit v 1 auf, so gehören zu x 1 v 1 viele Partialbrüche der Form   A  i _____  (x – x  1 )  i , i = 1,2, …, v 1 Analoges gilt, wenn x 2 mit Vielfachheit v 2 , x 3 mit Vielfachheit v 3 usw. auftritt (vgl. Beispiel J). 4) Treten komplexe Nullstellen auf, so hat man einen wieder anderen Ansatz zu machen. Wir gehen auf diesen schwierigen Fall nicht näher ein. 5) Ist der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms, so muss man zuerst mit- tels Polynomdivision die gegebene rationale Funktion in ein Polynom (oder wie man auch sagt: eine ganzrationale Funktion) und in eine echt-gebrochen rationale Funktion (als „Rest“) zerlegen. Bei- spiel I zeigt die Vorgangsweise: Beispiel I Berechne: :     x  4 + 3x  3 + 3x  2 – 8 x – 2 _____________  x  3 + x  2 – 2x ·dx Lösung: 0 Der Grad des Zähøerpoøynoms (=4) ist größer aøs der Grad des Nennerpoøynoms (=3). Wir müssen daher die gegebene rationaøe Funktion durch Poøynomdivision in eine ganzrationaøe und eine echt-gebrochen rationaøe Funktion zerøegen: (x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 – 8x – 2)(x 3 + x 2 – 2 x) = x + 2 x 4 + x 3 – 2 x 2 2 x 3 + 5 x 2 – 8 x 2 x 3 + 2 x 2 – 4 x 3 x 2 – 4 x – 2 Rest   x  4 + 3x  3 + 3x  2 – 8 x – 2 _____________  x  3 + x  2 – 2 x = x + 2 +   3 x  2 – 4 x – 2 _______ x  3 + x  2 – 2 x Poøynom „rationaøer Rest“ 1 Zerfäøøen des Nenners (= Ermittøung seiner Nuøøsteøøen): x 3 + x 2 – 2 x = x·(x 2 + x – 2) = x·(x + 2)·(x – 1) 2 Partiaøbruchzerøegung des rationaøen Restes:   3 x  2 – 4 x – 2 _______ x  3 + x  2 – 2 x =   A _  x +   B ___  x + 2  +   C ___  x – 1 ! ·x·(x + 2)·(x – 1) 3 x 2 – 4 x – 2 = A·(x + 2)·(x – 1) + B·x·(x – 1) + C·x·(x + 2) x = 0: ‒2 = A·2·(‒1) w A = 1 x = ‒2: 12 + 8 – 2 = B·(‒2)·(‒3) w B = 3 x = 1: 3 – 4 – 2 = C·1·3 w C = ‒1   3 x  2 – 4 x – 2 _______ x  3 + x  2 – 2 x =   1 _ x +   3 ___  x + 2 –   1 ___  x – 1 3 Integration: :   (x + 2)·dx =   x  2 __  2 + 2 x + c 1 :     3 x  2 – 4 x – 2 _______ x  3 + x  2 – 2 x ·dx = :     dx __ x  + 3· :     dx ___  x + 2 – :     dx ___  x – 1  = = øn † x † + 3·øn † x + 2 † – øn † x – 1 † + c 2 = = øn †    x·(x + 2)  3 ______ x – 1    † + c 2 Insgesamt: :     x  4 + 3x  3 + 3x  2 – 8 x – 2 _____________  x  3 + x  2 – 2 x ·dx =   x  2 __  2 + 2 x + øn †    x·(x + 2)  3 ______ x – 1    † + c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv