Reichel Mathematik 8, Schulbuch

50 Integralrechnung 2 3. Partialbruchzerlegung kennen Wir wissen bereits: Nicht jede Funktion f besitzt eine Stammfunktion F , und selbst wenn sie eine be- sitzt, kann man sie oft nicht mit elementaren Methoden ermitteln. Es ist daher naheliegend wissen zu wollen, für welche Funktionen das eine oder das andere zutrifft. Für die Klasse der Polynomfunktionen wissen wir zB, dass sich jede Polynomfunktion integrieren lässt, weil ja nur die Konstantenregel sowie die Summen- und Differenzenregel mehrfach auf das Grundintegral der Potenzfunktion angewendet werden muss. Darüber hinaus zeigt sich aber zB, dass auch für jede rationalen Funktion f (dh. f ist Quo- tient zweier Polynome) das Integral stets berechnet werden kann. Wir zeigen die Idee – nicht die voll- ständige Methode – anhand der folgenden Überlegungen: Es sei f (x) =   x + 3 ______  x  2 – 5 x + 6 Die Nullstellen des Nenners sind x 1 = 2 , x 2 = 3 . Somit: x 2 – 5 x + 6 = (x – 2)·(x – 3) Wir machen nun einen „Ansatz“ mit den (noch) unbestimmten Koeffizienten A und B :   x + 3 ______  x  2 – 5 x + 6  =   A ___  x – 2  +   B ___  x – 3 Durch entsprechendes Erweitern erhältst du   x + 3 ______  x  2 – 5 x + 6  =   A·(x – 3) + B·(x – 2) ____________  (x – 2)·(x – 3)  also x + 3 = A·(x – 3) + B·(x – 2) (*) bzw. x + 3 = (A + B)·x + (‒3A – 2B) Da die linke mit der rechten Seite für alle x übereinstimmen soll, müssen die Koeffizienten der (hier linearen) Funktion auf der linken Seite mit den entsprechenden Koeffizienten der (hier linearen) Funk- tion auf der rechten Seite übereinstimmen. Koeffizientenvergleich führt auf das Gleichungssystem 1 = A + B 3 = ‒3A – 2B Daraus berechnet man A = ‒5 und B = 6 und erhält die Partialbruchzerlegung   x + 3 ______  x  2 – 5 x + 6  =   ‒5 ___  x – 2  +   6 ___  x – 3 und daher :     x + 3 ______  x  2 – 5 x + 6 ·dx = ‒ :     5 ___  x – 2  ·dx + :     6 ___  x – 3  ·dx mit dem Ergebnis (vgl. Beispiel G c ): :     x + 3 ______  x  2 – 5 x + 6 ·dx = ‒5·øn † x – 2 † + 6·øn † x – 3 † + c welches man durch Anwenden der Rechenregeln für Logarithmen auch in folgender Form schreiben kann. Erkøäre! :     x + 3 ______  x  2 – 5 x + 6 ·dx = øn   † x – 3 †   6 ____  † x – 2 †   5 + c Bemerkungen: 1) Die Berechnung von A und B kannst du dir erleichtern, indem du in die Gleichung (*) einmal x = 2 einsetzt und dann x = 3 . Es folgt sofort: A = ‒5 und B = 6 . Überprüfe und begründe! Diesen Trick werden wir im Folgenden öfters verwenden. + A 122 S 48 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv