Reichel Mathematik 8, Schulbuch

1 5 1.0 Vorschau und Einführung – Wirkdiagramme 2. Qualitative Diagramme erklären und erstellen können Beispiel A Steøøe die Räuber-Beute-Situation in einem a Ursache-Wirkungs-Diagramm b Føussdiagramm dar! Lösung: a Ursache-Wirkungs-Diagramme steøøen die Systemeøemente durch Namen (hier: „Beute“ und „Räuber“) dar, die Zusammenhänge (Einføüsse) durch Pfeiøe, die jeweiøs von der Ursache zur Wirkung weisen. Vorzeichen kennzeichnen die Einføüsse aøs verstärkend („+“: je mehr Beute, desto mehr Räuber) bzw. dämpfend („–“: je mehr Räuber, desto weniger Beute). Ge- schøossene Pfeiøketten repräsentieren Rückkoppøungskreise . Dabei gibt es eskaøierende („e“) und ‒ wie hier ‒ stabiøisierende („s“) Rückkoppøung, aøso einen Regeøkreis  1 . b Føussdiagramme quantifizieren mitteøs Bestandsgrößen (die einen vom Zeitpunkt abhängigen Wert haben und rechteckig dargesteøøt wer- den) und Føussgrößen (die die Veränderung der Bestandsgrößen pro Zeiteinheit, aøso die absoøuten bzw. reøativen Änderungsraten , angeben und kreisförmig dargesteøøt werden). Hier enthäøt das Modeøø zwei Be- standsgrößen: die Anzahø der Räuber und die der Beutetiere. Letztere besitzen eine natürøiche Wachstumstendenz, die in Form eines be- stimmten Zuwachses an Beutetieren pro Zeitintervaøø (aøs Føussgröße) modeøøiert wird. Die Anzahø der pro Periode erbeuteten Beutetiere ist eine zweite Føussgröße. Die Zahø der erbeuteten Tiere hängt sowohø von der Zahø der vorhandenen Tiere aøs auch von der Zahø der vorhandenen Räuber ab. Die Räuber besitzen eine natürøiche Sterberate, die pro Peri- ode zu einem Absterben eines bestimmten Anteiøs von ihnen führt. Der Zuwachs an Räubern ist von ihrer Nahrungsversorgung abhängig. In der Natur wirken bei solchen (abgeschlossenen) Systemen immer mehr als zwei Komponenten zusammen. Vielfach besteht ein so komplexer Zusammenhang, dass wir nicht einmal alle mit- und gegeneinander wirkenden Einflüsse und Komponenten kennen! Äußere Eingriffe zB durch den Men- schen (Umgestaltung, Einbringung artfremder Individuen, etc.) können ein herrschendes Gleichgewicht zerstören. Vielfach stellt sich glücklicherweise ein neues Gleichgewicht ein, bisweilen aber geht das Biotop  2 zugrunde und kann sich derart auch auf andere Lebensräume zerstörend auswirken. Erkøäre! Ein Biotop, wie wir es eben beschrieben haben, ist ein typisches Beispiel für ein so genanntes dynami- sches System  3 . Ein dynamisches System besteht aus vielen Komponenten, die einander beeinflussen, dh. aus zeitlich veränderlichen Großen, die mit- und aneinander gekoppelt sind. Derartige Systeme tre- ten nicht nur in der Biologie auf, sondern auch in der Physik, Chemie, Technik und in der Ökonometrie (Mathematische Wirtschaftswissenschaft). Und es gibt viele andere Beispiele. Der in Österreich geborene Psychologe Paul Watzlawick (1921– 2007) untersuchte solche dynamischen Systeme in menschlichen Beziehungen: Beispiel B A erzähøt B ein interessantes Erøebnis. B möchte A übertreffen und erzähøt eine noch spannendere (teiøweise erfundene) Geschichte. A trumpft mit einer noch ungøaubøicheren Story auf. B steigert sich… Steøøe diesen Zusammenhang in einem Ursache-Wirkungs-Diagramm dar! Steøøt sich unter diesen Annahmen ein Gøeichgewicht ein? Lösung: Laut Figur øiegt ein eskaøierender Rückkoppøungskreis vor, der durch ein „e“ gekennzeichnet wird. Daher steøøt sich kein Gøeich- gewicht ein und die Lage eskaøiert immer weiter.  1 In der Literatur findet man oft als Zeichen für „eskalierend“ ein „ + “ und für „stabilisierend“ ein „ = “.  2 bisV , bios (griech.) … Leben; tspsV , topos (griech.) … Ort, Stelle  3 dunamiV , dynamis (griech.) … Kraft, Einfluss, Bewegung (dynamisch im Gegensatz zu statisch); „system“ von sunistemi , syn-istemi (griech.) … zusammenstellen, zu einem Ganzen vereinigen, systema (griech.) … das Gebilde FA 1.1 e + + Geschichte von A Geschichte von B Bestandsgröße Zustandsgröße Hilfsgröße Zwischengröße Außenwelt Beute Beute Räuber Räubertod R.Zuwachs R.Sterberate B.Zuwachs B.Zuwachsrate Flussgröße Veränderungsgröße s + Beute Räuber Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv