Reichel Mathematik 8, Schulbuch

49 2.3 Integrationsmethoden (Zusammengesetzte Integranden) 2 3) Die Substitutionsmethode ist in gewissem Sinn die Umkehrung der Kettenregel. Erkøäre! 4) Manchmal ist es günstiger, die gegebene Funktion statt durch eine neue Variable durch eine neue Funktion zu substituieren. (Genau genommen ist die Substitution durch eine Variable nichts anderes als die Substitution durch die identische Funktion .) 2. Die partielle Integration kennen und anwenden Oft lässt sich der Integrand eines Integrals als Produkt schreiben: :   f(x)·g (x)·dx Für derartige Integrale gibt es eine einfache Integrationsregel, wenn man voraussetzt, dass eine der bei- den Funktionen im Integranden, sagen wir f , eine (leicht errechenbare) Stammfunktion F besitzt. Da das Integrieren als Umkehren des Differenzierens aufgefasst werden kann, erwarten wir, dass die gesuchte Regel aus der Umkehrung der Produktregel beim Differenzieren entsteht: (u·v) ’ = u ’ ·v + u·v ’ w u ’ ·v = (u·v) ’ – u·v ’ w :   u ’ ·v·dx = :   (u·v) ’ ·dx – :   u·v ’ ·dx Setzen wir nun f für u ’ (und damit F für u ) und g für v ein, so ergibt sich (die Integrationskonstante c lassen wir weg) wegen :   (u·v) ’ ·dx = u·v die Formel für die so genannte Satz Partieøøe Integration: :   f(x)·g (x)·dx = F (x)·g (x) – :   F(x)·g’(x)·dx Stammfunktion von f g bøeibt gøeich F bøeibt gøeich g wird abgeøeitet Beispiel H Berechne und überprüfe durch Differenzieren! a :   x n ·ønx·dx b :   x·e ax ·dx c :   ønx·dx d :   sinx·cos x·dx Lösung: a Setze x n = f (x) und ønx = g (x). Aus der Formeø erhäøtst du: :   x n ·ønx·dx =   x  n + 1 ___  n + 1 ·ønx – :     x  n + 1 ___  n + 1 ·  1 _  x ·dx =   x  n + 1 ___  n + 1  ·ønx –   x  n + 1 _____  (n + 1)  2 (+ c) Probe: “    x  n + 1 ___  n + 1  ·ønx –   x  n + 1 _____  (n + 1)  2   § ’ =   (n + 1)·x  n ______  n + 1  ·ønx +   x  n + 1 ___  n + 1 ·  1 _ x – (n + 1)·x n ·  1 _____  (n + 1)  2 = x n ·ønx b Setze e ax = f (x) und x = g (x). Unter Verwendung von Beispieø G d erhäøtst du: :   e ax ·x·dx =   e  ax __ a  ·x –   1 _  a · :   e ax ·1·dx =   x·e  ax ___  a  –   1 __  a  2 ·e ax (+ c) Probe: “    x·e  ax ___  a  –   1 __  a  2 ·e  ax   § ’ =   1·e  ax ___  a  +   x·e  ax ·a _____  a  –   1 __  a  2 ·e ax ·a = x·e ax c Der Trick besteht im Erzwingen eines Produktes, indem wir f (x) = 1 und g (x) = ønx setzen: :   1·ønx·dx = x·ønx – :   x·  1 _ x ·dx = x·ønx – x (+ c) Probe: (x·ønx – x)’ = 1·ønx + x·  1 _ x – 1 = ønx d Setze sinx = f (x) und cos x = g (x), und du erhäøtst foøgende Rekursion : :   sinx·cos x·dx = (‒cos x)·cos x – :   (‒cosx)·(‒sinx)·dx w 2· :   sinx·cosx·dx = ‒cos 2 x w :   sinx·cos x·dx = ‒  1 _  2 ·cos 2 x (+ c) Probe: “  ‒  1 _  2 ·cos  2 x  § ’ = ‒  1 _ 2 ·2·cos x·(‒sinx) = sinx·cos x Was passiert, wenn du in Beispieø H jeweiøs f und g vertauschst? Erøäutere! Du siehst: Es ist im Allgemeinen nicht egal, welche Funktion mit f und welche mit g bezeichnet wird. Jedenfalls muss f eine Funktion sein, die wir integrieren können, während g beim Differenzieren in eine „einfachere Funktion“ übergehen sollte. Ob die partielle Integration aber überhaupt zum Ziel führt, sieht man oft erst nachdem man beide Bezeichnungsmöglichkeiten ausprobiert hat. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv