Reichel Mathematik 8, Schulbuch

48 Integralrechnung 2 Integrationsmethoden (Zusammengesetzte Integranden) Wie schon gesagt ist Integrieren (meist) schwieriger als Differenzieren, sodass man sich mit trickrei- chen Methoden zu behelfen sucht – die aber letztlich nicht zum Ziel führen müssen . Drei davon sind im Folgenden behandelt. Sie sind aus drei Gründen interessant. Erstens stellen sie (Punkt 1 und 2) die „Umkehrung“ von Differentiationsmethoden dar und verdeutlichen so den Zusammenhang von Diffe- renzieren und Integrieren. Zweitens zeigen sie (Punkt 3), dass man die rationalen Funktionen nach einem einheitlichen Konzept integrieren kann. Und drittens benötigt man sie, weil sich sonst sehr ein fache und nützliche Aufgaben nicht lösen lassen – außer man setzt Computer oder CAS-fähige Taschen rechner ein. 1. Die Substitutionsmethode verstehen und anwenden Alle bisherigen Integrale konnten wir unmittelbar auf die uns bekannten Grundintegrale zurückführen. Manche Integranden kann man erst dadurch in ein bereits bekanntes Grundintegral überführen, dass man durch Substitution gewisser Terme neue Variablen – meist z oder u genannt – einführt. Nach der Integration macht man die Substitution dann rückgängig. Beispiel G Berechne und kontroøøiere durch Differenzieren! a :   (3 x + 5) 17 ·dx b :     cosx ____  9 ___ sinx ·dx c :     5 ___  x – 2 ·dx d :   e ax ·dx Lösung: Bei den foøgenden Lösungen haben wir – wie übøich – erst ganz am Schøuss die Integra tionskonstante c berücksichtigt. Um nicht das Gøeichheitszeichen faøsch zu gebrauchen, schreiben wir c in Køammer dazu. Bei der Probe øassen wir die Integrationskonstante gøeich weg. a Setze 3 x + 5 = z; dann ist z’ =   dz __ dx = 3. Aøso ist dx =   dz __ 3  und somit :   (3 x + 5) 17 ·dx = :   z 17 ·  dz __  3  =   1 _  3 · :   z 17 ·dz =   1 _  3 ·  z  18 __  18 =   (3 x + 5)  18 ______ 54  (+ c) Probe: “    (3 x + 5)  18 ______ 54    § ’ = 18·(3 x + 5) 17 ·3·  1 __  54 = (3 x + 5) 17 b Setze sinx = u; dann ist u’ =   du __  dx = cos x und dx =   du ___  cosx . Somit foøgt: :     cosx ____  9 ___ sinx ·dx = :     cos x ___  9 _  u  ·  du ___  cosx = :   u ‒1/2 ·du =   u  1/2 __ 1/2 = 2· 9 ___ sinx (+ c) Probe: (2· 9 ___ sinx)’ = 2·  1 _  2 ·(sinx) ‒1/2 ·cos x =   cosx ____  9 ___ sinx c Setze x – 2 = z w z’ =   dz __  dx = 1 w dx = dz, und somit :     5 ___  x – 2  ·dx = :     5 _  z ·dz = 5· :     1 _  z ·dz = 5·øn † z † = 5·øn † x – 2 † (+ c) Probe: (5·øn † x – 2 † )’ = 5·  1 ___  x – 2  ·1 =   5 ___  x – 2 d Setze a·x = z w z’ =   dz __ dx = a w dx =   dz __ a  , und somit :   e ax ·dx =   1 _  a · :   e z ·dz =   1 _  a ·e z =   1 _  a ·e ax (+ c) Probe: “    1 _  a ·e  ax   § ’ =   1 _  a ·e ax ·a = e ax Bemerkungen: 1) Integrieren durch Substitution ist oft problematisch. So funktioniert in der obigen Teilaufgabe b die Substitution wegen dx = du/cos x nur auf solchen Definitionsintervallen D , wo cos x ≠ 0 . Probleme wie dieses werden gelegentlich in den späteren Kapiteln eine Rolle spielen. 2) Bei der Substitution hätte man auch mit Differentialen argumentieren können. In Teilaufgabe b etwa so: Wenn man u = sin x setzt, so ist das Differential du = cosx·dx (vgl. Buch 7. Kl. S. 47). Und daraus folgt wieder dx = du/cos x . Letztendlich läuft es aber auf die gleiche Rechnung hinaus, ob man mit Substitution oder mit Differentialen argumentiert. 2.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv