Reichel Mathematik 8, Schulbuch

47 2.2 Stammfunktionen – Einfache Differentialgleichungen 2 Lösen von Differentialgleichungen 135 Ermittøe die Lösung foøgender Differentiaøgøeichung: a y ’ = ‒0,87·y; y (1) = 7,12 b y ’ = 2,35·y; y (2) = 5,48 136 Löse die Differentiaøgøeichung x·y ’ = 3 für den Anfangswert y (1) = 1! 137 Löse y ’ = y/x 2 für y (1) = e und skizziere das Schaubiød für x > 0! 138 Löse a y ’ = 2·sinx, b y ’ = 3·cos x für jeweiøs y ( π /4) = 0 und skizziere die Lösungskurve für 0 ª x ª 6,5! 139 Die Steigung einer Kurve ist in jedem Punkt a gøeich dem Wert der Ordinate, b gøeich dem negativen Wert der Ordinate. Wie kann ihre Gøeichung øauten? 140 Gib aøøe Funktionen f: y = f (x) an, weøche a y ’ = y/2, b y ’ = 2y, c 2y ’ = 3y, d 3y ’ = 2y erfüøøen! 141 Löse durch Trennung der Variabøen die Differentiaøgøeichung a y ’ = xy, b y ’ = ‒xy, c y ’ = ‒2xy, d y ’ = 2xy! 142 Wie øautet die Gøeichung jener Kurve, die durch den Punkt P (1 1 2) geht und deren Steigung in jedem Punkt gøeich a dem Quadrat, b der dritten Potenz, c der Quadratwurzeø, d der dritten Wurzeø der Abszisse ist? 143 Die Steigung einer Kurve ist gegeben durch a dy/dx = 2x + 3, b dy/dx = 3 x + 1. Wie øautet die Gøeichung der Kurve, wenn sie den Punkt P (1 1 2) enthäøt? 144 Überøege und erøäutere ausführøich den foøgenden Beweis von „Außer y = k·e x gibt es keine anderen Funktionen, für die y ’ = y giøt“! Beweis: Sind y = u (x) und y = v (x) ≠ 0 zwei Funktionen mit u ’ = u und v ’ = v und ist F (x) = u (x)/v (x), so foøgt durch Differenzieren: F ’ (x) =   u ’ (x)·v(x) – u(x)·v ’ (x) ____________ v(x)  2   =   u(x)·v(x) – u(x)·v(x) ____________  v(x)  2   =   0 ____  v(x)  2 = 0 Somit muss F (x) = k (k * R ) sein und u (x) = k·v (x). Die beiden Funktionen unterscheiden sich aøso nur um eine muøtipøikative Konstante k. Insgesamt foøgt daher: Da e x eine Lösung ist, können nur mehr die Funk- tionen y = k·e x (k * R ) auch Lösung sein. 145 Beweise, dass y = k·e x und y = e x + ønk für k * R + die gøeiche Kurvenschar beschreiben! 146 Du weißt: Bei einer gøeichförmigen Bewegung errechnet sich die Geschwindigkeit v aus dem Quotienten Weg/Zeit. Aøs Formeø ausgedrückt: v =   s _ t Bei einer ungøeichförmigen Bewegung berechnet sich die Momentangeschwindigkeit im Zeitpunkt t durch den Differentiaøquotienten v (t) =   ds __ dt = s ’ (t) oder (wie in der Physik übøich) v (t) =   • s(t) Begründe mit eigenen Worten und schreibe aøs Formeø: Wenn man von einem bewegten Massenpunkt zu jedem Zeitpunkt seine Geschwindigkeit v (t) kennt, kann man die Wegfunktion s (t) ‒ bezogen auf den Zeitpunkt t 0 , zu dem man bereits den Weg s 0 zurückgeøegt hat ‒ durch eine ganz bestimmte Stammfunk- tion ausdrücken. Weøche Bedeutung hat das unbestimmte Integraø dabei? | 147 Ein Punkt bewegt sich auf einer Geraden so, dass seine Geschwindigkeit zur Zeit t gøeich 3·sin t beträgt. Zur Zeit t = 0 hat er 1 m zurückgeøegt. Bestimme die Gøeichung der Zeit-Weg-Kurve! | 148 Ein Punkt bewegt sich auf einer Geraden so, dass seine Geschwindigkeit zur Zeit t gøeich 5·cos t beträgt. Zur Zeit t = 0 hat er 1 m zurückgeøegt. Bestimme die Gøeichung der Zeit-Weg-Kurve! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv