Reichel Mathematik 8, Schulbuch

234 Stochastik IV Neben der obigen ist die folgende Unterscheidung gleichermaßen praktisch wie üblich, selbst wenn sie tiefergehenden philosophischen Betrachtungen nicht standhält (vgl. Buch 6. Kl. S. 162f). Quantitative Merkmale ( kontinuierliche „Größen“) wie Masse, Länge usw. sind solche, die sich messen , dh. durch eine reelle Zahl plus Maßeinheit (wie Gramm, Meter usw.) darstellen lassen. Qualitative Merkmale ( diskrete „Eigenschaften“) wie Augenfarbe, Geschlecht usw. sind solche, die sich (nur) klassifizieren, dh. die absoluten Häufigkeiten ihrer Zugehörigkeit zu einer Klasse durch eine natürliche Zahl beschreiben lassen. Sie lassen sich also nur abzählen . Je nach Art des Merkmals und der Fragestellungen entspricht dem kon- kreten Problem einmal eher ein diskretes Modell, ein anderes Mal eher ein stetiges Modell. Die Altersverteilung in einer Population kann man diskret (sozusagen als Geburtstags-Histogramm) oder stetig (als Alters­ häufigkeitsdichtefunktion) beschreiben . Der Übergang vom stetigen zum diskreten Modell kann durch eine Klasseneinteilung erfolgen, der vom diskreten zum stetigen Modell durch Regression . Die Darstellung der relativen Häufigkeit als Flä- cheninhalt erleichtert diesen Übergang und macht erst jetzt im Nachhinein klar, warum wir bei dis­ kreten Verteilungen besser mit Histogrammen als mit Stabdiagrammen gearbeitet haben. Besonders deutlich zeigt dies die folgende Gegenüberstellung statistischer Kennzahlen. Wie bei der Integral­ rechnung behandelt, tritt das Integral an die Stelle der Summe und umgekehrt: Diskretes Modell Stetiges Modell Arithmetisches Mittel  ​ _ x​= ​ ;  i = 1 ​  n ​x i ·r (x i )​ Zentralwert  50% der Werte der geordneten Urliste sind ª z ,  50% der Werte der geordneten Urliste sind º z Modalwert  Wert(e) mit maximaler relativer Häufigkeit. Varianz σ  2 = ​ ;  i = 1 ​  n ​ (x i – ​ _ x ​ ) 2 · r (x i ) ​ Kontinuierliches Mittel μ = ​ :  ‒ • ​  • ​x·f (x)·dx​ Zentralwert  ​ :  ‒ • ​  z ​f (x)·dx​= 0,5 = ​ :  z ​  • ​f (x)·dx​ Modalwert  Globale Maximumstelle(n) von f . Varianz σ  2 = ​ :  ‒ • ​  • ​ (x – μ ) 2 · f (x)·dx ​ 2. Beschreibende Statistik – Beurteilende (schließende) Statistik Häufigkeitsverteilungen dienen nicht nur der Darstellung des „status quo“ (beschreibende Statistik), sondern insbesondere auch als Grundlage für Prognosen und Schätzungen (beurteilende oder schlie- ßende Statistik). Dabei sind zwei Schlussweisen (Schlussrichtungen) zu unterscheiden: Schluss von einer Teilmenge (Stichprobe, sample) auf die Grundgesamtheit: Schätzen Schluss von der Grundgesamtheit (Kollektiv) auf eine Teilmenge: Testen Zur Unterscheidung zwischen den tatsächlich (empirisch) erhobenen bzw. gemessenen Daten und den (daraus) geschätzten bzw. vorhergesagten Daten verwendet man verschiedene Begriffe, die in ihrer gegenseitigen Entsprechung in der folgenden Tabelle angeführt sind: Ergebnis der Erhebung Ergebnis einer Schätzung oder Modellannahme Relative Häufigkeit bzw. relativer Anteil Häufigkeitsverteilung Arithmetisches bzw. kontinuierliches Mittel (Empirische) Standardabweichung Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert Standardabweichung Fig. IV.1 F  IV.1 K  IV.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv